En matemáticas, la clasificación de los grupos simples finitos es un teorema que establece que cada grupo simple finito es cíclico o alternante, o pertenece a una amplia clase infinita llamada grupos de tipo Lie, o bien es una de veintiséis o veintisiete excepciones, llamadas grupos esporádicos. La teoría de grupos es fundamental para muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas y el teorema de clasificación ha sido calificado como uno de los grandes logros intelectuales de la humanidad. Las demostraciones que sustentan esta clasificación constan de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados principalmente entre 1955 y 2004.
Los grupos simples pueden verse como los bloques de construcción básicos de todos los grupos finitos, lo que recuerda la forma en que los números primos son los bloques de construcción básicos de los números naturales. La serie de composición es una forma más precisa de enunciar este hecho sobre los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con la factorización de enteros es que tales bloques de construcción no necesariamente determinan un grupo único, ya que puede haber muchos grupos que no sean isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otra manera, el problema de extensión no tiene una solución única.
Gorenstein, Lyons y Solomon emprendieron la publicación gradual de una versión simplificada y revisada de la demostración.
Teorema:
Cada grupo simple finito es isomorfo a uno de los siguientes grupos:
El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de los grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos simples finitos. Gracias al teorema de clasificación, estas preguntas a veces se pueden responder comprobando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.
Daniel Gorenstein anunció en 1983 que todos los grupos finitos simples habían sido clasificados, pero esta afirmación resultó prematura, ya que se le había informado mal sobre la prueba de la clasificación del grupo cuasidelgado. La prueba completa de la clasificación fue anunciada por Aschbacher (2004) después de que Aschbacher y Smith publicaran una demostración de 1221 páginas para el caso faltante del grupo cuasidelgado.
Gorenstein escribió dos volúmenes que describen el rango bajo y la singular parte característica de la demostración; y Aschbacher, Lyons, Smith y Solomon escribieron un tercer volumen que cubre el caso restante de la característica 2. La prueba se puede dividir en varias partes principales de la siguiente manera:
Los grupos simples de rango 2 pequeños son en su mayoría grupos de tipo Lie de rango pequeño sobre cuerpos de característica impar, junto con cinco grupos alternantes y siete de tipo de característica 2 y nueve grupos esporádicos.
Los grupos simples de rango 2 pequeños incluyen:
La clasificación de grupos de rango 2 pequeños, especialmente los de rango 2 como máximo, hace un uso intensivo de la teoría del carácter ordinario y modular, que casi nunca se usa directamente en otras partes de la clasificación.
Todos los grupos que no sean de rango pequeño 2 se pueden dividir en dos clases principales: grupos de tipo de componente y grupos de tipo de característica 2. Esto se debe a que si un grupo tiene un rango seccional 2 al menos 5, entonces MacWilliams demostró que sus subgrupos 2 de Sylow están conectados, y el teorema de equilibrio implica que cualquier grupo simple con subgrupos 2 de Sylow conectados es de tipo componente o tipo de característica 2. Para grupos de rango 2 bajo, esta demostración no funciona, porque teoremas como el teorema del funtor señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango al menos 3.
Se dice que un grupo es de tipo componente si para algún centralizador C de una involución, C/O(C) tiene un componente (donde O(C) es el núcleo de C, el subgrupo normal máximo de orden impar).
Estos son más o menos los grupos de tipo Lie de característica impar de gran rango, y grupos alternos, junto con algunos grupos esporádicos. Un paso importante en este caso es eliminar la obstrucción del núcleo de una involución. Esto se logra mediante el teorema B, que establece que cada componente de C/O(C) es la imagen de un componente de C.
La idea es que estos grupos tengan un centralizador de una involución con un componente que sea un grupo cuasisimple menor, que se puede suponer ya conocido por inducción. Entonces, para clasificar estos grupos, se toma cada extensión central de cada grupo simple finito conocido, y se encuentran todos los grupos simples con un centralizador de involución con este como componente. Esto da un número bastante grande de casos diferentes para verificar: no solo hay 26 grupos esporádicos y 16 familias de grupos de tipo Lie y los grupos alternos, sino que también muchos de los grupos de rango pequeño o sobre campos pequeños se comportan de manera diferente al caso general y deben tratarse por separado, y los grupos de tipo de Lie de característica par e impar también son bastante diferentes entre sí.
Un grupo es del tipo de característica 2 si el subgrupo generalizado de Fitting F*(Y) de cada subgrupo 2-local Y es un 2-grupo. Como sugiere el nombre, estos son aproximadamente los grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2, más un puñado de otros que son alternantes, esporádicos o de característica impar. Su clasificación se divide en los casos de rango pequeño y grande, donde el rango es el rango más grande de un subgrupo abeliano impar que normaliza un subgrupo 2 no trivial, que a menudo (pero no siempre) es el mismo que el rango de una subálgebra de Cartan cuando el grupo es un grupo de tipo Lie en la característica 2.
Los grupos de rango 1 son los grupos delgados, clasificados por Aschbacher, y los de rango 2 son los notorios grupos cuasidelgados, clasificados por Aschbacher y Smith. Estos corresponden aproximadamente a grupos de tipo Lie de rangos 1 o 2 sobre campos de característica 2.
Los grupos de rango al menos 3 se subdividen en 3 clases por el teorema de la tricotomía, probado por Aschbacher para el rango 3 y por Gorenstein y Lyons para el rango de al menos 4.
Las tres clases son grupos de tipo GF(2) (clasificados principalmente por Timmesfeld), grupos de tipo estándar para algún primo impar (clasificados por el teorema de Gilman-Griess y funcionan para varios otros), y grupos de tipo de unicidad, donde un resultado de Aschbacher implica que no hay grupos simples.
El caso general de rango superior consiste principalmente en los grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2 de rango al menos 3 o 4.
La parte principal de la clasificación produce una caracterización de cada grupo simple. Entonces es necesario comprobar que existe un grupo simple para cada caracterización y que es único. Esto da una gran cantidad de problemas separados; por ejemplo, las pruebas originales de existencia y unicidad del grupo monstruo totalizaron unas 200 páginas, y la identificación de los grupos de Ree por Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de unicidad para los grupos esporádicos originalmente usaban cálculos por ordenador, la mayoría de los cuales han sido reemplazados por pruebas manuales más cortas.
En 1972 Gorenstein (1979, Appendix) anunció un programa para completar la clasificación de grupos finitos simples, que consta de los siguientes 16 pasos:
Muchos de los elementos de la lista que figura a continuación se han tomado de Solomon (2001). La fecha dada suele ser la fecha de publicación de la prueba completa de un resultado, que a veces es varios años después de la prueba o el primer anuncio del resultado, por lo que algunos de los elementos aparecen en el orden "incorrecto".
La demostración del teorema, tal como estaba alrededor de 1985, puede llamarse de primera generación. Debido a la extensión extrema de la prueba de primera generación, se ha dedicado mucho esfuerzo a encontrar una prueba más simple, llamada prueba de clasificación de segunda generación. Este esfuerzo, denominado revisionismo, fue dirigido originalmente por Daniel Gorenstein.
A 2021, se han publicado nueve volúmenes de la prueba de segunda generación (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). En 2012, Solomon estimó que el proyecto necesitaría otros 5 volúmenes, pero dijo que el progreso en ellos era lento. Se estima que la nueva prueba finalmente ocupará aproximadamente 5000 páginas. Esta extensión se debe en parte a que la prueba de segunda generación está escrita en un estilo más relajado. Sin embargo, con la publicación del volumen 9 de la serie, e incluyendo la contribución de Aschbacher-Smith, esta estimación ya se alcanzó, con varios volúmenes más aún en preparación (el resto de lo que originalmente estaba destinado al volumen 9, más los volúmenes proyectados 10 y 11). Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados al caso cuasidelgado, de tal manera que esos volúmenes pueden ser parte de la prueba de segunda generación.
Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las que es posible una demostración más simple.
Aschbacher (2004) ha calificado el trabajo sobre el problema de clasificación de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y algunos otros, como un programa de tercera generación. Uno de los objetivos de este trabajo es tratar todos los grupos de característica 2 de manera uniforme utilizando el método de amalgama.
Gorenstein ha analizado algunas de las razones por las que podría no haber una prueba breve de la clasificación similar a la clasificación del grupo de Lie compacto.
En esta sección se enumeran algunos resultados que se han probado utilizando la clasificación de grupos simples finitos:
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