Trabajo mecánico

En mecánica clásica, se dice que una fuerza realiza un trabajo cuando hay un desplazamiento del centro de masas del cuerpo sobre el que se aplica la fuerza, en la dirección de dicha fuerza. El trabajo de la fuerza sobre ese cuerpo será equivalente a la energía necesaria para desplazarlo^[1]​. Por consiguiente, se dice que una cierta masa tiene energía cuando esa masa tiene la capacidad de producir un trabajo; además, con esta afirmación se deduce que no hay trabajo sin energía. Por ello, se dice que el carbón, la gasolina, la electricidad, los átomos son fuentes de energía, pues pueden producir algún trabajo o convertirse en otro tipo de energía; para entender esto se tiene en cuenta el principio universal de la energía según el cual «la energía es algo que nosotros transformamos».

En sistemas conservativos, la energía mecánica se conserva. Si se consideran fuerzas de rozamiento, parte de la energía se disipa por ejemplo en forma de calor debido al trabajo de las fuerzas de rozamiento.

El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra ${displaystyle W}$ (del inglés Work) y se expresa en unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades.

Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía,^[2]​ nunca se debe referir a él como incremento de trabajo, ni se debe simbolizar como «ΔW».

Consideremos una partícula ${displaystyle P}$ sobre la que actúa una fuerza ${displaystyle F}$, función de la posición de la partícula en el espacio, esto es ${displaystyle F=F(mathbf {r} )}$ y sea ${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} }$ un desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo ${displaystyle mathrm {d} t}$. Llamamos trabajo elemental, ${displaystyle mathrm {d} W}$, de la fuerza ${displaystyle mathbf {F} }$ durante el desplazamiento elemental ${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} }$ al producto escalar ${displaystyle Fcdot mathrm {d} mathbf {r} }$; esto es,

${displaystyle mathrm {d} W=mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} }$

Si representamos por ${displaystyle mathrm {d} s}$ la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental, esto es ${displaystyle mathrm {d} s=|mathrm {d} mathbf {r} |}$ , entonces el vector tangente a la trayectoria viene dado por ${displaystyle mathbf {e} _{ ext{t}}={frac {mathrm {d} mathbf {r} }{mathrm {d} s}}}$ y podemos escribir la expresión anterior en la forma

${displaystyle mathrm {d} W=mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} =mathbf {F} cdot mathbf {e} _{ ext{t}}mathrm {d} s=(Fcos heta )mathrm {d} s=F_{ ext{s}}mathrm {d} s}$

donde ${displaystyle heta }$ representa el ángulo determinado por los vectores ${displaystyle mathrm {d} mathbf {F} }$ y ${displaystyle mathbf {e} _{ ext{t}}}$ y ${displaystyle F_{ ext{s}}}$ es la componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental ${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} }$.

El trabajo realizado por la fuerza ${displaystyle mathbf {F} }$ durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa, según que el ángulo ${displaystyle heta }$ sea agudo, recto u obtuso.

Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales ${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} }$ y el trabajo total realizado por la fuerza ${displaystyle mathbf {F} }$ en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

${displaystyle W_{ ext{AB}}=int _{ ext{A}}^{ ext{B}}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} }$

Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de ${displaystyle mathbf {F} }$ a lo largo de la curva ${displaystyle C}$ que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de ${displaystyle mathbf {F} }$ sobre la curva ${displaystyle C}$ entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza ${displaystyle mathbf {F} }$ sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. Así, podemos afirmar que el trabajo no es una variable de estado.

En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección^[3]​ y sentido^[4]​), se tiene que

${displaystyle W_{ ext{AB}}=int _{ ext{A}}^{ ext{B}}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} =mathbf {F} cdot int _{ ext{A}}^{ ext{B}}mathrm {d} mathbf {r} =mathbf {F} cdot Delta mathbf {r} =Fscos heta }$

es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final. Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo.

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre ella, entonces ${displaystyle mathbf {F} }$ representará al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

Para el caso de un sólido el trabajo total sobre el mismo se calcula sumando las contribuciones sobre todas las partículas. Matemáticamente ese trabajo puede expresarse como integral:

${displaystyle W=int _{V}mathrm {d} Vint _{T_{0}}^{T_{f}}mathbf {f} _{V}(mathbf {x} )cdot mathbf {v} (mathbf {x} ),mathrm {d} t}$

Si se trata de un sólido rígido las fuerzas de volumen ${displaystyle scriptstyle mathbf {f} _{V}}$ puede escribirse en términos de la fuerza resultante ${displaystyle scriptstyle mathbf {F} _{R}}$, el momento resultante ${displaystyle scriptstyle mathbf {M} _{R}}$, la velocidad del centro de masas ${displaystyle scriptstyle mathbf {V} _{CM}}$ y la velocidad angular ${displaystyle scriptstyle {oldsymbol {omega }}}$:

${displaystyle W=int _{T_{0}}^{T_{f}}left(mathbf {F} _{R}cdot mathbf {v} _{CM}+mathbf {M} _{R}cdot {oldsymbol {omega }} ight)mathrm {d} t}$

Para el caso de una partícula tanto en mecánica clásica como en mecánica relativista es válida la siguiente expresión:

${displaystyle mathbf {F} ={frac {mathrm {d} mathbf {p} }{mathrm {d} t}}}$

Multiplicando esta expresión escalarmente por la velocidad e integrando respecto al tiempo se obtiene que el trabajo realizado sobre una partícula (clásica o relativista) iguala a la variación de energía cinética:

${displaystyle W=int mathbf {F} cdot mathbf {v} mathrm {d} t=int mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} =int mathbf {v} cdot mathrm {d} mathbf {p} =Delta E_{c}}$

Esta expresión es válida tanto en mecánica clásica como en relativista, aunque dada la diferente relación entre el momento lineal y la velocidad en ambas teorías, la expresión en términos de la velocidad es ligeramente diferente:

${displaystyle {egin{cases}mathbf {p} =mmathbf {v} ,&{mbox{mec. clásica}}\mathbf {p} ={cfrac {mmathbf {v} }{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},&{mbox{mec. relativista}}end{cases}}Rightarrow int mathbf {v} cdot mathrm {d} mathbf {p} =Delta E_{c}={egin{cases}{ frac {1}{2}}mv^{2},&{mbox{mec. clásica}}\{cfrac {mc^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},&{mbox{mec. relativista}}end{cases}}}$

En el caso de un sistema termodinámico, el trabajo no es necesariamente de naturaleza puramente mecánica, ya que la energía intercambiada en las interacciones puede ser también calorífica, eléctrica, magnética o química, por lo que no siempre podrá expresarse en la forma de trabajo mecánico.

No obstante, existe una situación particularmente simple e importante en la que el trabajo está asociado a los cambios de volumen que experimenta un sistema (v.g., un fluido contenido en un recinto de forma variable).

Así, si consideramos un fluido que se encuentra sometido a una presión externa ${displaystyle p_{ ext{ext}},}$ y que evoluciona desde un estado caracterizado por un volumen ${displaystyle V_{1}}$ a otro con un volumen ${displaystyle V_{2}}$, el trabajo realizado será:

${displaystyle W_{12}=int _{V_{1}}^{V_{2}}p_{ ext{ext}},mathrm {d} V}$

resultando un trabajo positivo (${displaystyle W>0}$) si se trata de una expansión del sistema ${displaystyle mathrm {d} V>0}$ y negativo en caso contrario, de acuerdo con el convenio de signos aceptado en la termodinámica. En un proceso cuasiestático y sin fricción la presión exterior (${displaystyle p_{ ext{ext}}}$) será igual en cada instante a la presión (${displaystyle p}$) del fluido, de modo que el trabajo intercambiado por el sistema en estos procesos se expresa como

${displaystyle W_{12}=int _{V_{1}}^{V_{2}}p,mathrm {d} V}$

De estas expresiones se infiere que la presión se comporta como una fuerza generalizada, en tanto que el volumen actúa como un desplazamiento generalizado. La presión y el volumen constituyen una pareja de variables conjugadas.

En el caso que la presión del sistema permanezca constante durante el proceso, el trabajo viene dado por:

${displaystyle W=int _{V_{1}}^{V_{2}}p,mathrm {d} V=pint _{V_{1}}^{V_{2}}mathrm {d} V=p(V_{2}-V_{1})=pDelta V}$

---