Transformada Z

En matemáticas y en el procesamiento de señales, la transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

La transformada Z, igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto ${displaystyle x[n]}$ es una función ${displaystyle X(z)}$ que se define

donde ${displaystyle nin mathbb {Z} }$ y en general ${displaystyle zin mathbb {C} }$, es decir, es un número complejo de la forma

donde ${displaystyle A}$ es el módulo de ${displaystyle z}$, y ${displaystyle omega }$ es el argumento de ese complejo que bien podría representar la frecuencia angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).

De forma alternativa, en los casos en que ${displaystyle x[n]}$ está definida únicamente para ${displaystyle ngeq 0}$, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con Región de Convergencia (ROC) del tipo ${displaystyle |z|>R}$ ; es decir que converge "hacia afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generadora de probabilidades, donde ${displaystyle x[n]}$ es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante ${displaystyle n}$, y la función ${displaystyle X(z)}$ suele escribirse como ${displaystyle X(s)}$, ya que ${displaystyle s=z^{-1}}$. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

La Transformada Z inversa se define

donde ${displaystyle C }$ es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, ${displaystyle C }$, debe contener todos los polos de ${displaystyle X(z) }$.

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando ${displaystyle C }$ es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de ${displaystyle n}$ y un número finito de ${displaystyle z}$ separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando ${displaystyle x[n]z^{-n}}$ es absolutamente sumable.

Propiedades de la Región de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, ${displaystyle x[n]}$.

Sea ${displaystyle x[n]=0.5^{n} }$. Expandiendo ${displaystyle x[n] }$ en ${displaystyle (-infty ,infty ) }$ obtenemos

Siendo la suma

No hay ningún valor de ${displaystyle z }$ que satisfaga esta condición.

Sea ${displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n] }$ (donde ${displaystyle u}$ es la función escalón). Expandiendo ${displaystyle x[n] }$ en ${displaystyle (-infty ,infty ) }$ obtenemos

Siendo la suma

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad solo se conserva si ${displaystyle left|0.5z^{-1} ight|<1 }$, lo cual puede ser reescrito para definir ${displaystyle z }$ de modo ${displaystyle left|z ight|>0.5 }$. Por lo tanto, la ROC es ${displaystyle left|z ight|>0.5 }$. En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Sea ${displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1] }$ (donde ${displaystyle u}$ es la función escalón). Expandiendo ${displaystyle x[n] }$ entre ${displaystyle (-infty ,infty ) }$ obtenemos

Siendo la suma

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la igualdad solo se mantiene si ${displaystyle left|0.5^{-1}z ight|<1 }$, de modo que podemos definir ${displaystyle z }$ como ${displaystyle left|z ight|<0.5 }$. Aquí, la ROC es ${displaystyle left|z ight|<0.5 }$, es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada ${displaystyle X(z) }$ de ${displaystyle x[n] }$ es única si y solo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye ${displaystyle left|z ight|=infty }$, mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye ${displaystyle left|z ight|=0 }$.

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni ${displaystyle left|z ight|=infty }$ ni ${displaystyle left|z ight|=0 }$. La ROC crea una región circular. Por ejemplo, ${displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1] }$ tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será ${displaystyle 0.5<left|z ight|<0.75 }$, la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal ${displaystyle 0.5^{n}u[n] }$ y otro anticausal ${displaystyle -(0.75)^{n}u[-n-1] }$.

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. ${displaystyle left|z ight|=1 }$) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque ${displaystyle left|z ight|>0.5 }$ contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un ${displaystyle x[n] }$ ambiguo) podemos determinar una única señal ${displaystyle x[n] }$ en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo ${displaystyle x[n] }$ que sea única.

r: integral

el espacio Z

Teorema de valor inicial Si x[n] causal

Teorema de valor final Si los polos de ${displaystyle (z-1)X(z)}$ están dentro del círculo unitario, entonces

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

donde ${displaystyle x(t) }$ es la señal continua muestreada, ${displaystyle x[n]=x(nT) }$ la n-ésima muestra, ${displaystyle T }$ el período de muestreo, y con la sustitución ${displaystyle z=e^{sT} }$.

Del mismo modo, la TZ unilateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ ${displaystyle X(z) }$ en ${displaystyle z=e^{jomega } }$ o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (en inglés LCCD) es una representación de un sistema lineal, basada en la ecuación de la media autorregresiva.

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por ${displaystyle alpha _{0} }$, si no es cero, normalizando ${displaystyle alpha _{0}=1 }$ la ecuación LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual ${displaystyle y[{n}] }$ se define en función de las salidas anteriores ${displaystyle y[{n-p}] }$, la entrada actual ${displaystyle x[{n}] }$, y las entradas anteriores ${displaystyle x[{n-q}] }$.

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

y dividiendo

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

donde ${displaystyle q_{k} }$ es el k-ésimo cero y ${displaystyle p_{k} }$ es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Si por un sistema ${displaystyle H(z) }$ pasa una señal ${displaystyle X(z) }$ entonces la salida será ${displaystyle Y(z)=H(z)X(z) }$. Haciendo una descomposición en fracciones simples de ${displaystyle Y(z) }$ y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida ${displaystyle y[n] }$.

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