Trayectoria hiperbólica

En astrodinámica o mecánica celeste, una trayectoria hiperbólica es el recorrido descrito por un objeto con velocidad superior a la necesaria para escapar de la atracción gravitatoria de un cuerpo central. El nombre deriva del hecho de que de acuerdo con la teoría newtoniana, tal órbita tiene la forma de una hipérbola. En términos más técnicos, esto puede expresarse por la condición de que la excentricidad orbital sea mayor que uno.

Bajo suposiciones simplificadas, un cuerpo que viaje con esta trayectoria se dirigirá hacia el infinito, manteniendo una velocidad excedente final en relación con el cuerpo central. De forma similar a las trayectorias parabólicas, todas las trayectorias hiperbólicas son también trayectorias de escape. La energía específica de una órbita de trayectoria hiperbólica es positiva.

Los sobrevuelos planetarios que se valen de la asistencia gravitatoria, se pueden describir dentro de la esfera de influencia del planeta usando trayectorias hiperbólicas.

Al igual que una órbita elíptica, se puede definir una trayectoria hiperbólica para un sistema dado (ignorando la orientación) por su semieje mayor y su excentricidad. Sin embargo, con las órbita hiperbólica también se trabaja con otros parámetros que pueden ser más útiles para comprender el movimiento de un cuerpo. La siguiente tabla enumera los parámetros principales que describen la ruta del cuerpo siguiendo una trayectoria hiperbólica alrededor de otro bajo supuestos estándar, y la fórmula que los relaciona.

El semieje mayor (${displaystyle a,!}$) no se puede apreciar inmediatamente en una trayectoria hiperbólica, pero se puede construir como la distancia desde el periápside hasta el punto donde se cruzan las dos asíntotas. Usualmente, por convención, es negativo, de forma consistente con varias ecuaciones relacionadas con órbitas elípticas.

El semieje mayor está directamente relacionado con la energía orbital específica (${displaystyle epsilon ,}$) o con la energía característica ${displaystyle C_{3}}$ de la órbita, y con la velocidad que alcanza el cuerpo cuando la distancia tiende al infinito, es decir, la velocidad hiperbólica excedente (${displaystyle v_{infty },!}$).

donde: ${displaystyle mu =Gm,!}$ es el parámetro gravitacional estándar y ${displaystyle C_{3}}$ es la energía característica, comúnmente utilizada en la planificación de misiones interplanetarias

Téngase en cuenta que la energía total es positiva en el caso de una trayectoria hiperbólica (mientras que es negativa para una órbita elíptica).

Con una trayectoria hiperbólica, la excentricidad orbital (${displaystyle e,}$) es mayor que 1. La excentricidad está directamente relacionada con el ángulo entre las asíntotas. Con una excentricidad justo por encima de 1, la hipérbola tiene una forma aguda de '"v". Con ${displaystyle e={sqrt {2}}}$ las asíntotas están en ángulo recto. Con ${displaystyle e>2}$, las asíntotas están a más de 120° de separación, y la distancia del periápside es mayor que el semieje mayor. A medida que la excentricidad aumenta, el movimiento se aproxima a una línea recta.

El ángulo entre la dirección de la periapsis y una asíntota del cuerpo central es la anomalía verdadera, ya que la distancia tiende al infinito (${displaystyle heta _{infty },}$), por lo que ${displaystyle 2 heta _{infty },}$ es el ángulo externo entre las direcciones de aproximación y de salida (entre asíntotas). Entonces

El parámetro de impacto es la distancia por la cual un cuerpo, si continúa en un camino sin perturbaciones, pasará junto al cuerpo central en su punto más cercano. Con cuerpos que experimentan fuerzas gravitatorias y siguen trayectorias hiperbólicas, es igual al semieje menor de la hipérbola.

En la situación de una nave espacial o de un cometa que se acercan a un planeta, el parámetro de impacto y el exceso de velocidad se conocen con precisión. Si se conocen las características del cuerpo central, es posible determinar la trayectoria, incluyendo la mínima distancia (es decir, la máxima aproximación) en el periápside. Si esta distancia es menor que el radio del planeta, se debe esperar un impacto. La distancia de aproximación más cercana, o distancia del periápside, viene dada por:  

Entonces, si un cometa se aproxima a la Tierra (radio efectivo ~ 6400 km) con una velocidad de 12,5 km/s (la velocidad de acercamiento mínima aproximada de un cuerpo que proviene del exterior del Sistema solar), entonces para evitar la colisión su parámetro de impacto necesitará ser de al menos 8600 km, un 34% más que el radio de la Tierra. Un cuerpo que se aproxima a Júpiter (radio 70.000 km) desde el Sistema Solar exterior con una velocidad de 5,5 km/h, para evitar la colisión necesitará que el parámetro de impacto sea de al menos 770.000 km (unas once veces el radio de Júpiter).

Si no se conoce la masa del cuerpo central, su parámetro gravitacional estándar, y por lo tanto su masa, puede determinarse por la deflexión del cuerpo más pequeño junto con el parámetro de impacto y la velocidad de aproximación. Debido a que típicamente todas estas variables se pueden determinar con precisión, un sobrevuelo de una nave espacial proporcionará una buena estimación de la masa de un cuerpo.

En una trayectoria hiperbólica, la anomalía verdadera ${displaystyle heta }$ está vinculada a la distancia entre los cuerpos en órbita (${displaystyle r,}$) por la ecuación orbital:

La relación entre la verdadera anomalía θ y la anomalía excéntrica E es:

La anomalía excéntrica E está relacionada a su vez con la anomalía media M de la ecuación de Kepler:

La anomalía media es proporcional al tiempo

El ángulo de la trayectoria de vuelo (φ) es el ángulo formado entre la dirección de la velocidad y la dirección perpendicular a la radial, por lo que es cero en el periápside y tiende a 90 grados en el infinito.

Bajo los supuestos comunes, la velocidad orbital (${displaystyle v,}$) de un cuerpo que viaja en una "trayectoria hiperbólica" puede calcularse a partir de la ecuación vis-viva como:

donde:

Bajo suposiciones estándar, en cualquier posición de la órbita, se cumple la siguiente relación para la velocidad orbital (${displaystyle v,}$), la velocidad de escape local (${displaystyle {v_{esc}},}$) y el exceso de velocidad hiperbólica (${displaystyle v_{infty },!}$):

Téngase en cuenta que esto significa que un delta-v adicional relativamente pequeño que se necesita para acelerar a la velocidad de escape da como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11.2 km/s, la adición de 0.4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3.02 km/s.

Este es un ejemplo del Efecto Oberth. Lo contrario también es cierto: un cuerpo no necesita reducir mucho su velocidad en relación con su exceso de velocidad hiperbólica (por ejemplo, mediante la resistencia atmosférica cerca del periápside) para que la velocidad caiga por debajo de la velocidad de escape y así pueda ser capturado por la gravedad del cuerpo principal.

Una trayectoria hiperbólica radial es un movimiento sobre una línea recta no periódico, en el que la velocidad relativa de los dos objetos siempre excede la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se alejan entre sí o se acercan el uno hacia el otro. Esta situación se reduce a una órbita hiperbólica con un semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no se trata de una órbita parabólica.

En el contexto del problema de los dos cuerpos en la relatividad general, las trayectorias de objetos con suficiente energía para escapar de la atracción gravitatoria de otro ya no tienen forma de hipérbola. No obstante, el término "trayectoria hiperbólica" se sigue utilizando para describir órbitas de este tipo.