Trayectoria radial

En astrodinámica y mecánica celeste, una trayectoria radial es una órbita de Kepler con momento angular cero. Se dice que dos objetos se hallan en una trayectoria radial cuando se acercan o alejan directamente el uno del otro en línea recta.

Hay tres tipos de trayectorias radiales (órbitas):^[1]​

A diferencia de las órbitas habituales, que se clasifican por su excentricidad orbital, las órbitas radiales se clasifican por su energía orbital específica: la suma constante de la energía cinética y potencial total, dividida por la masa reducida:

donde x es la distancia entre los centros de las masas, v es la velocidad relativa, y ${displaystyle mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$ es el parámetro gravitacional estándar.

Otra constante viene dada por:

Dadas la distancia de separación, la velocidad en cualquier instante y la masa total, es posible determinar la posición de los dos cuerpos en cualquier otro instante.

El primer paso es determinar la constante w. El signo de w sirve para establecer el tipo de órbita.

donde ${displaystyle extstyle x_{0}}$ y ${displaystyle extstyle v_{0}}$ son la separación y la velocidad relativa en cualquier momento.

En este caso

donde t es el tiempo desde o hasta el momento en el que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación entre ambas.

Esta ecuación se aplica solo a las trayectorias parabólicas radiales. Para las trayectorias parabólicas generales, véase la ecuación de Barker.

Se ajusta a la ecuación siguiente

donde t es el tiempo desde o hasta el momento en el que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación entre ambas.

Esta fórmula se denomina ecuación radial de Kepler.^[2]​

Véanse también las ecuaciones para un cuerpo en caída libre.

Este caso toma la forma

donde t es el tiempo desde o hasta el momento en el que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación entre ambas.

La ecuación de Kepler radial se puede hacer "universal" (aplicable a todas las trayectorias):

o expandiéndose en una serie de potencias:

El problema de encontrar la separación de dos cuerpos en un momento dado, dada su separación y velocidad en otro momento conocido, se conoce como el problema de Kepler. Esta sección resuelve el problema de Kepler para órbitas radiales.

El primer paso es determinar la constante w, cuyo signo sirve para establecer el tipo de órbita.

donde ${displaystyle extstyle x_{0}}$ y ${displaystyle extstyle v_{0}}$ son la separación y la velocidad en cualquier instante.

Aquí

Véase también la trayectoria parabólica.

Se usan dos cantidades intermedias: w, y la separación en el tiempo t que tendrían los cuerpos si estuvieran en una trayectoria parabólica, p.

donde t es el tiempo, ${displaystyle x_{0}}$ es la posición inicial, ${displaystyle v_{0}}$ es la velocidad inicial y ${displaystyle mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$.

La ecuación de Keplerinversa radial es la solución al problema radial de Kepler:

Expandiendo la fórmula en una serie de potencias:

La serie de potencias se puede diferenciar fácilmente término por término. La diferenciación repetida proporciona las fórmulas de velocidad, aceleración, cambio de aceleración...

La órbita dentro de un eje radial en un cuerpo esférico uniforme ^[3]​ sería un movimiento armónico simple, porque la gravedad dentro de dicho cuerpo es proporcional a la distancia al centro. Si el cuerpo pequeño entra y/o sale del cuerpo grande en su superficie, la órbita cambia a una de las descritas anteriormente. Por ejemplo, si el eje se extiende de superficie a superficie, es posible una órbita cerrada que consta de partes de dos ciclos de movimiento armónico simple y partes de dos órbitas elípticas radiales diferentes (pero simétricas).