Triangulación de un polígono

En geometría, la triangulación de un polígono o área poligonal es una partición de dicha área en un conjunto de triángulos por un conjunto máximal de diagonales que no se cruzan.^[1]​

De manera más precisa, una triangulación es una división del área en un conjunto de triángulos que cumplen las siguientes condiciones:

La definición anterior es la estándar en geometría computacional aunque en ciertos contextos, al hablar de triangulaciones, se puede hacer caso omiso del segundo requisito. En tal caso, no se requiere que los vértices de los triángulos sean vértices del polígono y para referirse a las triangulaciones que sí satisfacen el requisito se habla de triangulaciones completas.^[2]​^[3]​

La partición de una superficie en triángulos se denomina también malla triangular en trigonometría y en geometría elemental. Y desde el punto de vista de la teoría de grafos, las triangulaciones son «grafos no orientados sin aristas múltiples», cuyos subgrafos son "círculos de tres nodos" (y correspondientemente tres aristas). Una generalización de las mallas triangulares son las mallas poligonales.

A continuación se muestran propiedades de la triangulación de un polígono simple:

Con frecuencia interesa calcular una triangulación que presente alguna propiedad especial, como por ejemplo evitar que algún triángulo tenga un área mayor de un umbral dado.

Un polígono monótono puede ser triangulado en tiempo lineal mediante alguno de los algoritmos siguientes:

Existen muchas aplicaciones que utilizan la triangulación de un polígono como uno de los pasos para la solución del problema. Por ejemplo:

La definición de triangulación puede ser fácilmente adaptada para elementos de dimensiones superiores. Así, se define una triangulación de un politopo en un espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ como un complejo simplicial formado por una colección de simplejos de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$tales que:

Por ejemplo, en caso del espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$cualquier volumen encerrado en el interior de una superficie discreta cerrada, puede ser descompuesto en una serie de tetraedros (que es el simplejo de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$). Esto tiene aplicaciones importantes como el cálculo de volúmenes de objetos complejos, o la deformación mediante el método de elementos finitos.

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