Variedad topológica

En matemáticas, una variedad topológica es un espacio topológico que localmente tendrá la estructura topológica de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, en un sentido precisado más abajo. De este modo una variedad heredará muchas de las propiedades locales del espacio euclídeo, pero no las globales. Será necesario añadir condiciones globales a la definición para evitar la aparición de ejemplos considerados patológicos.

Así, si sólo exigimos la condición de ser localmente euclídeo, aparecerán espacios no Hausdorff o ejemplos de espacios que no verifican el segundo axioma de numerabilidad y no son metrizables (como la línea larga o la superficie de Prüfer). Para evitar todo esto, suelen incluirse dos condiciones más en la definición de variedad topológica.

Una variedad topológica de dimensión n es un espacio topológico ${displaystyle {mathcal {M}}}$ que debe cumplir:

Observaciones sobre la definición:

La condición de ser localmente euclídeo garantiza que para cada punto de la variedad existe un abierto U que lo contiene y un homeomorfismo ${displaystyle phi :U ightarrow Vsubset mathbb {R} ^{n}}$ con un abierto de Rⁿ. Del par (U, φ) decimos que es una carta de M. Dicha carta nos permitirá asignar coordenadas a los puntos de la variedad contenidos en el abierto U.

En caso de poder asignar coordenadas mediante dos cartas (U₁, φ₁) y (U₂, φ₂) que se solapen, es natural plantearse el cambio de un sistema de coordenadas a otro para los puntos de ${displaystyle U_{1}cap U_{2}}$. Este cambio se realiza mediante el homeomorfismo

De dicho homeomorfismo decimos que es una función de transición, cambio de cartas o cambio de coordenadas de M.

Se definen nuevas variedades al exigir que el cambio de cartas verifique ciertas propiedades. Así, si pedimos que el cambio de cartas sea diferenciable (resp. holomorfo) obtendremos las variedades diferenciables (resp. complejas).

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