Álgebra tensorial

En matemática, el álgebra tensorial es (dentro del álgebra abstracta) una construcción de un álgebra asociativa ${displaystyle scriptstyle ({ ext{T}}(V),+,otimes )}$ partiendo de un espacio vectorial ${displaystyle scriptstyle (V,mathbb {K} ,+)}$ (sobre el cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$). Las álgebras tensoriales pueden ser vistas como una generalización del cálculo tensorial.

Un álgebra tensorial se construye a partir de una base de la misma: partiendo de una base vectorial del espacio vectorial base ${displaystyle scriptstyle V}$, se define un producto tensorial no conmutativo de estos elementos y no sujeto a ninguna restricción (más allá de la asociatividad, de la ley distributiva y las ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$-linealidades, donde ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(V)}$ está definido sobre el cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {K} }$). Una vez definidos esos productos, el conjunto ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(V)}$ está formado por combinaciones de esos mismos productos. Por lo tanto, ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(V)}$, mirada en términos que no son intrínsecos, se puede ver como el álgebra de polinomios en n variables que no conmutan sobre K, si V tiene dimensión n. Otras álgebras de interés tales como el álgebra exterior aparecen como cocientes de ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(V)}$, como relaciones impuestas por generadores.

La construcción de ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(V)}$ es una suma directa de partes graduadas T^k para k = 0, 1, 2,...:

${displaystyle { ext{T}}(V)=igoplus _{k}{ ext{T}}^{k}(V)={ ext{T}}^{0}(V)oplus { ext{T}}^{1}(V)oplus { ext{T}}^{2}(V)oplus dots }$

Donde T^k es el producto tensorial de V con sí mismo k veces:

y ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}^{0}(V)=mathbb {K} }$ es un espacio vectorial unidimensional. La función de multiplicación en Tⁱ y T^j mapea a T ^{i + j} y es la yuxtaposición natural de los tensores puros, ampliados por bilinealidad. Es decir, el álgebra tensorial es representante de las álgebras con tensores covariantes que se forman de V y de cualquier rango. Para tener el álgebra completa de tensores, contravariantes así como covariantes, se debe tomar ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(W)}$ donde ${displaystyle scriptstyle W}$ es la suma directa de ${displaystyle scriptstyle V}$ y de su espacio dual - esto consistirá en todos los tensores T_I^J con los índices superiores J e índices inferiores I, en la notación clásica.

Uno también se puede referir a ${displaystyle scriptstyle { ext{T}}(V)}$ como el álgebra libre sobre el espacio vectorial ${displaystyle scriptstyle V}$. De hecho,el funtor que lleva una K-álgebra A a su espacio K-vectorial subyacente está en un par de funtores adjuntos con T, que es su adjunto izquierdo. El punto de vista de álgebra libre es útil para construcciones como la de un álgebra de Clifford o un álgebra envolvente universal, donde la pregunta sobre la existencia se puede resolver comenzando con T(V) e imponiendo después las relaciones requeridas.

La construcción se generaliza fácilmente al álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo.

Dada una variedad diferenciable puede definirse localmente un espacio tangente a partir del cual se puede definir un álgebra tensorial. Como en cada punto se puede definir un espacio tangente, y dados dos puntos sus respectivos espacios tangentes son isomorfos, puede construirse un álgebra tensorial asociada a toda la variedad diferenciable.

---