Espacio dual

En matemáticas, la existencia de un espacio vectorial 'dual' refleja de una manera abstracta la relación entre los vectores fila (1×n) y los vectores columna (n×1) de una matriz. La construcción puede darse también para los espacios infinito-dimensionales y da lugar a modos importantes de ver las medidas, las distribuciones y el espacio de Hilbert. El uso del espacio dual es así, en una cierta manera, recurso del análisis funcional. Es también inherente a la transformación de Fourier.

Dado cualquier espacio vectorial V sobre un cierto cuerpo F, definimos el espacio dual V* como el conjunto de todas las funcionales lineales en V, es decir, transformaciones lineales en V a valores escalares (en este contexto, un "escalar" es un miembro del cuerpo-base F). El propio V* se convierte en un espacio vectorial sobre F bajo las definiciones siguientes ('punto a punto') de la adición y de la multiplicación escalar

${displaystyle {egin{cases}(phi +psi )(x)=phi (x)+psi (x)\(aphi )(x)=aphi (x)end{cases}}}$

para todos φ, ψ en V*, a en F y x en V. En lenguaje del cálculo tensorial, los elementos de V a veces se llaman vectores contravariantes, y los elementos de V* vectores covariantes (y a campos de estos uno-formas).

Si la dimensión de V es finita, entonces V* tiene la misma dimensión que V; si { e₁,..., e _n} es una base para V, entonces la base dual asociada { e¹,...,e ⁿ} de V* viene dada por:

Específicamente, si se interpreta Rⁿ como espacio de columnas de n números reales, su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de filas de n números. Tal fila actúa en Rⁿ como funcional lineal por la multiplicación ordinaria de matrices. Si V consiste en el espacio de los vectores geométricos (flechas) en el plano, entonces los elementos del dual V* se pueden intuitivamente representar como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para dar un número de la manera siguiente: se cuenta cuántas de las líneas cruzan el vector.

Si V es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha e^j no produce una base para V* y la dimensión de V* es mayor que la de V. Considérese por ejemplo el espacio R ^(ω), cuyos elementos son las secuencias de números reales que tienen solo una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es R^ω, el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia (a_n) se aplica a un elemento (x_n) de R^(ω) para dar Σ_n x_na_n.

Si ${displaystyle f:V o W}$ es una función lineal, se puede definir su transpuesta ${displaystyle f^{t}:W^{*} o V^{*}}$ por

para cada ${displaystyle phi }$ en W*, la asignación ${displaystyle fmapsto f^{t}}$ genera un homomorfismo inyectivo entre el espacio de operadores lineales de V a W y el espacio de operadores lineales de W* a V*; este homomorfismo es un isomorfismo ssi W es finito-dimensional o V es trivial. Si la función lineal ${displaystyle f}$ es representada por la matriz ${displaystyle A}$ con respecto a dos bases de ${displaystyle V}$ y ${displaystyle W}$, entonces ${displaystyle f^{t}}$ es representada por la matriz transpuesta ${displaystyle A^{t}}$ con respecto a las bases duales de ${displaystyle W^{*}}$ y de ${displaystyle V^{*}}$. Si ${displaystyle g:W o X}$ es otra función lineal, se tiene ${displaystyle (gcirc f)^{t}=f^{t}circ g^{t}}$. En el lenguaje de la teoría de las categorías, tomar el dual de los espacios vectoriales y la transpuesta de funciones lineales es por lo tanto un funtor contravariante de la categoría de los espacios vectoriales sobre F a sí misma.

Como vimos arriba, si V es finito-dimensional, entonces V es isomorfo a V*, solamente que el isomorfismo no es natural y depende de la base de V con que comenzamos. De hecho, cualquier isomorfismo Φ de V a V* define un producto bilineal no degenerado único en V por

${displaystyle langle v,w angle =(Phi (v))(w),}$

y cada producto bilineal no degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.

A partir del espacio dual ${displaystyle V^{*}}$, definimos el espacio bidual ${displaystyle V^{**}}$ como el conjunto de todas las aplicaciones lineales de ${displaystyle V^{*}}$ en ${displaystyle F}$, donde ${displaystyle F}$ es el cuerpo sobre el que se define el espacio vectorial ${displaystyle V}$. En notación matemática lo expresamos de la siguiente manera: ${displaystyle V^{**}=hom _{F}(V^{*},F)}$ donde Hom hace referencia a los homomorfismos sobre ${displaystyle F}$ (aplicaciones lineales). Un importante resultado del espacio bidual es el siguiente:

Sea ${displaystyle V}$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo ${displaystyle F}$. Sea ${displaystyle V^{*}}$ su espacio dual y ${displaystyle V^{**}}$ su espacio bidual. Existe una aplicación canónica ${displaystyle phi :V ightarrow V^{**}}$que transforma cada vector ${displaystyle vin V}$en una forma lineal ${displaystyle phi (v)in V^{**}}$perteneciente al espacio bidual. Cada forma lineal ${displaystyle phi (v)}$ se define de la siguiente manera:

${displaystyle {egin{array}{cccl}phi (v):&V^{*}&longrightarrow &F\&omega &longmapsto &(phi (v))(omega ):=omega (v)end{array}}}$

donde ${displaystyle omega in V^{*}}$ es una forma lineal del espacio dual. Se verifica que ${displaystyle phi :V ightarrow V^{**}}$ es lineal e inyectiva. Además, si el espacio vectorial ${displaystyle V}$ es finito-generado,^[1]​ se verifica que ${displaystyle phi }$ es un isomorfismo.

Para demostrar el teorema, necesitamos un lema previo:

Lema

Dados dos vectores ${displaystyle v,v'in V}$ tales que ${displaystyle v eq v'}$, existe al menos una forma lineal ${displaystyle {overline {omega }}in V^{*}}$tal que ${displaystyle {overline {omega }}(v) eq {overline {omega }}(v')}$

Dado ${displaystyle vin V}$ tal que ${displaystyle v eq 0}$, existe ${displaystyle omega in V^{*}}$tal que ${displaystyle omega (v) eq 0}$.

Tomamos el subespacio vectorial generado por v, ${displaystyle langle v angle }$, y sea ${displaystyle {overline {V}}}$ el subespacio suplementario del anterior. Como los anteriores subespacios son suplementarios, tenemos lo siguiente: ${displaystyle langle v angle oplus ;{overline {V}}=;V}$ y deducimos que ${displaystyle dim _{F}V=;dim _{F}{overline {V}}+dim _{F}(langle v angle )longrightarrow dim _{F}{overline {V}}=;dim _{F}V-1}$.

Ahora tomamos el paso al cociente y obtenemos ${displaystyle V/{overline {V}}}$ que es de dimensión 1, como podemos comprobar a continuación: ${displaystyle dim _{F}V/{overline {V}}=;dim _{F}V-dim _{F}{overline {V}}=;dim _{F}V-(dim _{F}V-1)=;dim _{F}V-dim _{F}V+1=;1}$

Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que ${displaystyle v eq 0}$ podemos construir una base de ${displaystyle V/{overline {V}}}$ con la clase de equivalencia de ${displaystyle v}$. Tenemos que ${displaystyle V/{overline {V}}=langle [v] angle }$ , luego los elementos ${displaystyle V/{overline {V}}}$ son de la forma ${displaystyle lambda [v],;;lambda in F}$. Definimos la siguiente aplicación lineal:

${displaystyle {egin{array}{cccl}omega ':&V/{overline {V}}&longrightarrow &F\&lambda [v]&longmapsto &lambda end{array}}}$

y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir:

${displaystyle {egin{array}{ccccl}V&{overset {Pi }{longrightarrow }}&V/{overline {V}}&{overset {omega '}{longrightarrow }}&F\v&longmapsto &[v]\&&lambda [v]&longmapsto &lambda end{array}}}$ , definimos ${displaystyle omega =omega 'circ ;Pi }$.

Luego ${displaystyle omega }$ es una composición de aplicaciones lineales, por lo tanto ${displaystyle omega }$ debe de ser también una aplicación lineal. Finalmente, hemos encontrado la aplicación lineal ${displaystyle omega }$ que verifica el enunciado a demostrar: ${displaystyle omega (v)=;omega '(Pi (v))=;omega '(lambda [v])=;lambda quad mathrm {Q.E.D.} }$

${displaystyle (phi (v))(lambda _{1}omega _{1}+lambda _{2}omega _{2});{overset {?}{=}};lambda _{1}(phi (v))(omega _{1})+lambda _{2}(phi (v))(omega _{2})}$

${displaystyle (phi (v))(lambda _{1}omega _{1}+lambda _{2}omega _{2})=(lambda _{1}omega _{1}+lambda _{2}omega _{2})(v)=lambda _{1}omega _{1}(v)+lambda _{2}omega _{2}(v)=lambda _{1}(phi (v))(omega _{1})+lambda _{2}(phi (v))(omega _{2})quad mathrm {Q.E.D.} }$

luego es lineal.

A continuación veamos que ${displaystyle phi :V ightarrow V^{**}}$ es también lineal. Sean ${displaystyle v_{1},v_{2}in V,;;lambda _{1},lambda _{2}in F}$, veamos que ${displaystyle phi (lambda _{1}v_{1}+lambda _{2}v_{2});{overset {?}{=}};lambda _{1}phi (v_{1})+lambda _{2}phi (v_{2})}$ .

Esta igualdad es equivalente a ${displaystyle (phi (lambda _{1}v_{1}+lambda _{2}v_{2}))(omega );{overset {?}{=}};(lambda _{1}phi (v_{1})+lambda _{2}phi (v_{2}))(omega ),quad forall omega in V^{*}}$

Desarrollando el primer miembro: ${displaystyle (phi (lambda _{1}v_{1}+lambda _{2}v_{2}))(omega )=omega (lambda _{1}v_{1}+lambda _{2}v_{2})=lambda _{1}omega (v_{1})+lambda _{2}omega (v_{2})}$

y desarrollando el segundo miembro: ${displaystyle (lambda _{1}phi (v_{1})+lambda _{2}phi (v_{2}))(omega )=lambda _{1}(phi (v_{1}))(omega )+lambda _{2}(phi (v_{2}))(omega )=lambda _{1}omega (v_{1})+lambda _{2}omega (v_{2})}$

obtenemos cosas idénticas, por lo que hemos demostrado que la aplicación ${displaystyle phi }$ es lineal.

Veamos ahora que ${displaystyle phi :V ightarrow V^{**}}$es inyectiva.

Sean ${displaystyle v,v'in V,;;v eq v'}$, veamos que ${displaystyle phi (v) eq phi (v')}$.

Como ${displaystyle v eq v'}$, por el lema anterior, existe ${displaystyle {overline {omega }}in V^{*}}$ tal que ${displaystyle {overline {omega }}(v) eq {overline {omega }}(v')}$. Ahora por la definición de ${displaystyle phi }$ tenemos lo siguiente:

${displaystyle {egin{cases}(phi (v))({overline {omega }})=;{overline {omega }}(v)\(phi (v'))({overline {omega }})=;{overline {omega }}(v')end{cases}}}$

y como sabemos que ${displaystyle {overline {omega }}(v) eq {overline {omega }}(v')}$ es cierto, deducimos que ${displaystyle (phi (v))({overline {omega }}) eq (phi (v'))({overline {omega }})}$por lo que hemos demostrado que ${displaystyle phi }$ es inyectiva.

Por último veamos que si ${displaystyle V}$ es finito-generado entonces ${displaystyle phi }$ es un isomorfismo.

Como ${displaystyle V}$ es finito-generado, ${displaystyle dim _{F}V=n,;;nin mathbb {Z} ^{+}}$. También sabemos que ${displaystyle dim _{F}V=;dim _{F}V^{*}=;dim _{F}V^{**}}$luego ${displaystyle V^{**}}$ también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de ${displaystyle V}$. Como ${displaystyle phi }$ es lineal e inyectiva podemos deducir lo siguiente:

${displaystyle dim _{F}V=;dim _{F}ker(phi )+dim _{F}Im(phi )}$, por ser ${displaystyle phi }$ una aplicación lineal.

${displaystyle ker(phi )=;0longrightarrow dim _{F}ker(phi )=;0}$, por ser ${displaystyle phi }$ inyectiva.

De las igualdades anteriores deducimos que ${displaystyle dim _{F}V=;dim _{F}V^{**}=;dim _{F}operatorname {im} (phi )}$ y como ${displaystyle operatorname {im} (phi )subseteq V^{**}}$finalmente deducimos que ${displaystyle operatorname {im} (phi )=;V^{**}}$, por lo que ${displaystyle phi }$ es epiyectiva.

Tenemos que ${displaystyle phi }$ es lineal, inyectiva y epiyectiva luego es un isomorfismo, que es lo que queríamos demostrar.

En el caso de espacios de dimensión finita, el dual topológico coincide con el dual algebraico y el concepto de dual topológico es trivial. Sin embargo, con espacios vectoriales de dimensión infinita el dual topológico generalmente es estrictamente más pequeño que el dual algebraico:

Al tratar con un espacio vectorial normado V (e.g., un espacio de Banach o un espacio de Hilbert), típicamente se está interesado solamente en los funcionales lineales continuos del espacio en el cuerpo. Estos forman un espacio vectorial normado, llamado el dual continuo o dual topológico de V, a veces llamado solamente el dual de V. Es denotado por V' . La norma ${displaystyle |cdot |}$ de una funcional lineal continua en V es definida por:

${displaystyle |phi |=sup{|phi (x)|:|x|leq 1},}$

Donde ${displaystyle sup }$ denota el supremo de un conjunto.

La definición anterior convierte al dual continuo o topológico en un espacio vectorial normado, de hecho en un espacio de Banach. Uno puede también hablar del continuo de un espacio vectorial topológico arbitrario. Esto es sin embargo mucho más duro de tratar, ya que en general no será un espacio vectorial normado de ninguna manera natural.

La definición anterior puede generalizarse un poco, dado un espacio vectorial topológico V se define el espacio dual topológico como el subespacio del dual algebraico formado por funciones continuas respecto a la topología de V.

${displaystyle |mathbf {a} |_{p}=left(sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|^{p} ight)^{1/p}}$

es finito. Defínase el número q por 1/p + 1/q = 1. Entonces el dual continuo l^p se identifica naturalmente con l^q: dado un elemento φ de (l^p)', el elemento correspondiente de l^q es la secuencia (φ(e_n)) donde e_n denota la secuencia cuyo término n-ésimo es 1 y todos los demás son cero. Inversamente, dado un elemento a = (a_n ) ∈ l^q, el funcional lineal continuo correspondiente φ en l^p es definido por φ(b) = Σ_n a_n b_n para toda b = (b_n) ∈ l^p (véase la desigualdad de Hölder).

Si V es el espacio de Hilbert, entonces su dual continuo es un espacio de Hilbert que es contra-isomorfo a V. Éste es el contenido del teorema de representación de Riesz, y da lugar a la notación bra-ket usada por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica. En analogía con el caso del doble dual algebraico, hay siempre un operador lineal continuo inyectivo naturalmente definido Ψ: V → V'' en su doble dual continuo V''. Esta función es de hecho una isometría, significando ||Ψ(x)||=||x|| para todo x en V. Espacios para los cuales la función Ψ es una biyección se llaman reflexivos. El dual continuo se puede utilizar para definir una nueva topología en V, llamada la topología débil. Si el dual de V es separable, entonces así es el espacio V mismo. El inverso no es verdad; el espacio l¹ es separable, pero su dual es l^∞, que no es separable.

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