Análisis vectorial

El cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside^[1]​(1850-1925).

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición, un vector ${displaystyle mathbf {f} {ig (}mathbf {OP} {ig )}}$ donde el punto O es nuestro origen de coordenadas.

Si ${displaystyle mathbf {a} in mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle mathbf {b} in mathbb {R} ^{m}.}$ Escribimos:

donde ${displaystyle {ig |}mathbf {x} {ig |}}$ es la norma euclídea de ${displaystyle mathbf {x} }$. Expresándolo en función de las componentes de ${displaystyle mathbf {x} ={ig (}x_{1},ldots ,x_{n}{ig )},mathbf {a} ={ig (}a_{1},ldots ,a_{n}{ig )},}$

o, de forma equivalente,

Decimos que una función ${displaystyle mathbf {f} }$ es continua en ${displaystyle mathbf {a} Leftrightarrow lim _{mathbf {x} o mathbf {a} }mathbf {f} {ig (}mathbf {x} {ig )}=mathbf {f} {ig (}mathbf {a} {ig )}}$

${displaystyle lim _{mathbf {x} o mathbf {a} }mathbf {f} {ig (}mathbf {x} {ig )}=mathbf {b} ,lim _{mathbf {x} o mathbf {a} }mathbf {g} {ig (}mathbf {x} {ig )}=mathbf {c} Rightarrow }$

Sean ${displaystyle mathbf {f} }$ y ${displaystyle mathbf {g} }$ dos funciones tales que la función compuesta ${displaystyle mathbf {f} circ mathbf {g} }$ está definida en ${displaystyle mathbf {a} }$, siendo

Sea ${displaystyle f:Ssubseteq mathbb {R} ^{n}longrightarrow mathbb {R} }$. Sea ${displaystyle mathbf {x} }$ un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo ${displaystyle in S,}$ e ${displaystyle mathbf {y} }$ un vector arbitrario de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Definimos la derivada de f en ${displaystyle mathbf {x} }$ respecto a ${displaystyle mathbf {y} }$ como

${displaystyle {cfrac {partial f}{partial x_{k}}}=lim _{h o 0}{cfrac {f{ig (}x_{1},ldots ,x_{k}+h,ldots ,x_{n}{ig )}-f{ig (}x_{1},ldots ,x_{k},ldots ,x_{n}{ig )}}{h}}}$

Decimos que f es diferenciable en ${displaystyle mathbf {a} Leftrightarrow }$

${displaystyle f}$ es diferenciable en ${displaystyle mathbf {x} }$ con diferencial ${displaystyle f_{L}{ig (}mathbf {y} {ig )}Rightarrow }$

Sea ${displaystyle f:Ssubset mathbb {R} ^{n}longrightarrow mathbb {R} }$ un campo escalar y ${displaystyle mathbf {x} :Jsubset mathbb {R} longrightarrow S}$. Definimos la función compuesta ${displaystyle g=fcirc mathbf {x} }$ como ${displaystyle g(t)=f{Big [}mathbf {x} {ig (}t{ig )}{Big ]}}$, entonces ${displaystyle quad g'{ig (}t{ig )}=sum _{k=1}^{n}{cfrac {partial f}{partial x_{k}}}cdot {cfrac {dx_{k}}{dt}}}$

Sea ${displaystyle mathbf {f} :Ssubseteq mathbb {R} ^{n}longrightarrow mathbb {R} ^{m}}$ un campo vectorial. Sea ${displaystyle mathbf {x} in S}$ e ${displaystyle mathbf {y} }$ un vector cualquiera. Definimos la derivada

Expresando ${displaystyle mathbf {f'} {ig (}mathbf {x} ;mathbf {y} {ig )}}$ en función de sus componentes, tenemos ${displaystyle mathbf {f'} {ig (}mathbf {x} ;mathbf {y} {ig )}={Big [}f'_{1}{ig (}mathbf {x} ;mathbf {y} {ig )},ldots ,f'_{m}{ig (}mathbf {x} ;mathbf {y} {ig )}{Big ]}}$

Decimos que ${displaystyle mathbf {f} }$ es diferenciable ${displaystyle Leftrightarrow exists mathbf {f} _{L}:mathbb {R} ^{n}longrightarrow mathbb {R} ^{m}}$, aplicación lineal que verifica:

La matriz de ${displaystyle mathbf {f} '}$ es su matriz jacobiana.

Si un campo vectorial ${displaystyle mathbf {f} }$ es diferenciable en ${displaystyle mathbf {x} Rightarrow }$ es continuo en ${displaystyle mathbf {x} }$.

Sea ${displaystyle mathbf {h} {ig (}mathbf {x} {ig )}={ig (}mathbf {f} circ mathbf {g} {ig )}{ig (}mathbf {x} {ig )}}$ un campo vectorial definido y diferenciable en ${displaystyle mathbf {x} }$. Su diferencial ${displaystyle mathbf {h} '{ig (}mathbf {x} {ig )}}$ resulta ser

${displaystyle {cfrac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}={cfrac {partial ^{2}f}{partial x_{j}partial x_{i}}}quad forall i eq jLeftrightarrow }$ ambas derivadas parciales existen y son continuas en ${displaystyle mathbf {x} }$.

Un campo escalar tiene un máximo en ${displaystyle mathbf {x} =mathbf {a} Leftrightarrow }$ existe una n-bola ${displaystyle B{ig (}mathbf {a} {ig )}{Big |}forall mathbf {x} in B{ig (}mathbf {a} {ig )}quad f{ig (}mathbf {x} {ig )}leqslant f{ig (}mathbf {a} {ig )}}$

Un campo escalar tiene un mínimo en ${displaystyle mathbf {x} =mathbf {a} Leftrightarrow }$ existe una n-bola ${displaystyle B{ig (}mathbf {a} {ig )}{Big |}forall mathbf {x} in B{ig (}mathbf {a} {ig )}quad f{ig (}mathbf {x} {ig )}geqslant f{ig (}mathbf {a} {ig )}}$

Un campo escalar tiene un punto de ensilladura ${displaystyle Leftrightarrow }$

Para saber si es uno de los casos anteriores:

En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que ${displaystyle {cfrac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}}$ es continua ${displaystyle forall i,j{ig |}1leqslant ileqslant n,1leqslant jleqslant n}$

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