Análisis real

El análisis real o teoría de las funciones de variable real es la rama del análisis matemático que tiene que ver con el conjunto de los números reales. En particular, estudia las propiedades analíticas de las funciones y sucesiones de números reales; su límite, continuidad y el cálculo de los números reales.

El análisis real es un área del análisis matemático que estudia los conceptos de sucesión, límite, continuidad, diferenciación e integración. Dada su naturaleza, el análisis real está limitado a los números reales como herramientas de trabajo.

Resultados importantes incluyen entre otros el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Heine-Borel, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.

Los textos del «cálculo avanzado» normalmente comienzan con una introducción a las demostraciones matemáticas y a la teoría de conjuntos. Tras esto se definen los números reales axiomáticamente, o se los construye con sucesiones de Cauchy o como cortes de Dedekind de números racionales. Después, hacen una investigación de las propiedades de los números reales, siendo de las más importantes la desigualdad triangular.

Tras definir los números reales, se investigan las sucesiones de números reales y su convergencia, un concepto central en análisis, a través de los límites de sucesiones o puntos de acumulación de conjuntos. Posteriormente se estudian las series, como las series alternadas y las series de potencias.

Se estudia, para empezar a desarrollar conceptos topológicos elementales, varios tipos de subconjuntos de los números reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, espacios compactos, conjuntos conexos, etc., donde se estudian el teorema de Bolzano-Weierstrass y el de Heine-Borel.

Ahora se estudian las funciones de variable real, y se define el concepto de función continua a partir de la definición épsilon-delta del límite de una función. Entre las propiedades de una función continua definida en un intervalo destacan los teoremas conocidos como el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedio y el teorema de Weierstrass.

En este momento se puede definir la derivada de una función como un límite, y se pueden demostrar rigurosamente los teoremas importantes sobre la derivación como el teorema de Rolle o el teorema del valor medio. Se construyen las series de Taylor y se calculan las series de Maclaurin de las funciones exponencial y de las funciones trigonométricas.

Es importante destacar que también se estudian las funciones de varias variables tanto como sus derivadas que son las derivadas parciales. Es muy importante estudiar el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita, tanto como las funciones de Morse.

La integración definida, que se puede definir como «el área debajo de la gráfica» de una función va naturalmente después de la derivación, de la que la integración indefinida es la operación inversa. Se comienza con la integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una partición), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mínimo de la función en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al máximo en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior). También existe otro tipo de integral, que puede integrar más funciones, llamada la integral de Lebesgue, que usa la medida y el concepto de «en casi todas partes». El mismo se muestra después.

Con la teoría de integración se pueden demostrar varios teoremas, en el caso de la integración de Riemann o de Lebesgue, como el teorema de Fubini, pero de un modo más importante el teorema fundamental del cálculo.

Habiendo hecho todo esto, es útil regresar a los conceptos de continuidad y convergencia, y estudiarlos en un contexto más abstracto, en preparación para estudiar los espacios de funciones, que se hace en el análisis funcional o más especializados tal como el análisis complejo.

---