Distribución T cuadrado de Hotelling

En estadística la distribución T² (T-cuadrado) de Hotelling es importante porque se presenta como la distribución de un conjunto de estadísticas que son una generalización natural de las estadísticas subayacentes distribución t de Student. En particular, la distribución se presenta en estadísticas multivariadas en pruebas de diferencias entre las medias (multivariadas) de diferentes poblaciones, donde las pruebas para problemas univariados usarían la Prueba t. Es proporcional a la distribución F.

La distribución recibe su nombre de Harold Hotelling, quien la desarrollo^[1]​ como una generalización de la distribución t de Student.

Si el vector ${displaystyle d}$ tiene distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza unitaria ${displaystyle N({oldsymbol {0}}_{p},{oldsymbol {I}}_{p,p})}$ y ${displaystyle M}$ es una matriz de tamaño ${displaystyle p imes p}$ con matriz unitaria escalada y ${displaystyle m}$ los grados de libertad con distribución de Wishart ${displaystyle W({oldsymbol {I}}_{p,p},m)}$ entonces la forma cuadrática ${displaystyle X}$ tiene distribución de Hotelling con parámetros ${displaystyle p}$ y ${displaystyle m}$:

Si la variable aleatoria ${displaystyle X}$ tiene distribución T-cuadrado de Hotelling con parámetros ${displaystyle p}$ y ${displaystyle m}$, ${displaystyle Xsim T_{p,m}^{2}}$, entonces

donde ${displaystyle F_{p,m-p+1}}$ es la distribución F con parámetros ${displaystyle {ce {p}}}$ y ${displaystyle m-p+1}$.

La estadística T-cuadrado de Hotelling es una generalización de la estadística t de Student que se usa en las pruebas de hipótesis multivariadas, y se define como sigue:^[1]​

Sea ${displaystyle {mathcal {N}}_{p}({oldsymbol {mu }},{mathbf {Sigma } })}$, que denota una distribución normal p-variada con vector de medias ${displaystyle {oldsymbol {mu }}}$ y covarianza ${displaystyle {mathbf {Sigma } }}$. Sean

${displaystyle n}$ variables aleatorias independientes, las cuales pueden representarse como un vector columna de orden ${displaystyle p imes 1}$ de números reales. Defínase

como la media muestral. Puede demostrarse que

donde ${displaystyle chi _{p}^{2}}$ es una distribución ji-cuadrado con p grados de libertad. Para demostrar eso se usa el hecho que ${displaystyle {overline {mathbf {x} }}sim {mathcal {N}}_{p}({oldsymbol {mu }},{mathbf {Sigma } }/n)}$ y entonces, al derivar la función característica de la variable aleatoria ${displaystyle mathbf {y} =n({overline {mathbf {x} }}-{oldsymbol {mu }})'{mathbf {Sigma } }^{-1}({overline {mathbf {x} }}-{oldsymbol {mathbf {mu } }})}$

Sin embargo, ${displaystyle {mathbf {Sigma } }}$ es por lo general desconocida y se busca hacer una prueba de hipótesis sobre el vector de medias ${displaystyle {oldsymbol {mu }}}$.

Defínase

como la covarianza muestral. La traspuesta se ha denotado con un apóstrofo. Se demuestra que ${displaystyle mathbf {W} }$ es una matriz definida positiva y ${displaystyle (n-1)mathbf {W} }$ sigue una distribución Wishart p-variada con n−1 grados de libertad.^[2]​ La estadística T-cuadrado de Hotelling se define entonces como

porque se demuestra que ^{[cita requerida]}

es decir

donde ${displaystyle F_{p,n-p}}$ es una distribución ${displaystyle F}$ con parámetros ${displaystyle p}$ y ${displaystyle n-p}$. Para calcular un p-valor, multiplique la estadística t² y la constante anterior y use la distribución ${displaystyle F}$.