Divergencia de Kullback-Leibler

En teoría de la probabilidad y teoría de la información, la divergencia de Kullback-Leibler (KL)^[1]​^[2]​^[3]​ (también conocida como divergencia de la información, ganancia de la información, entropía relativa o KLIC por sus siglas en inglés) es una medida no simétrica de la similitud o diferencia entre dos funciones de distribución de probabilidad P y Q. KL mide el número esperado de extra bits requeridos en muestras de código de P cuando se usa un código basado en Q, en lugar de un código basado en P. Generalmente P representa la "verdadera" distribución de los datos, observaciones, o cualquier distribución teórica. La medida Q generalmente representa una teoría, modelo, descripción o aproximación de P.

Aunque a menudo se considera como una métrica o distancia, la divergencia KL no lo es en realidad — por ejemplo, no es simétrica: la divergencia KL de P a Q no necesariamente es la misma KL de Q a P.

La divergencia KL es un caso especial de una clase más amplia de divergencias llamadas divergencias f. Fue originalmente introducida por Solomon Kullback y Richard Leibler en 1951 como la divergencia direccionada entre dos distribuciones. KL se puede derivar de la divergencia de Bregman.

Para distribuciones de probabilidad P y Q de una variable aleatoria discreta su divergencia KL se define como

En palabras, es el promedio ponderado de la diferencia logarítmica entre las probabilidades P y Q, donde el promedio se toma usando las probabilidades P. La divergencia KL solamente se define si P y Q suman 1 y si ${displaystyle Q(i)>0}$ para cualquier i tal que ${displaystyle P(i)>0}$. Si la cantidad ${displaystyle 0ln 0}$ aparece en la fórmula, se interpreta como cero.

Para distribuciones P y Q de una variable aleatoria continua, la divergencia KL se define como la integral:^[4]​

donde p y q representan las densidades de P y Q.

Más generalmente, si P y Q son medidas de probabilidad sobre un conjunto X, y Q es absolutamente continua con respecto a P, entonces la divergencia Kullback–Leibler de P a Q se define como

donde ${displaystyle {frac {{ m {d}}Q}{{ m {d}}P}}}$ es la derivada de Radon-Nikodym de Q con respecto a P, y dado que la expresión al lado derecho existe.

De la misma manera, si P es absolutamente continua con respecto a Q, entonces

lo cual se conoce como la entropía de P relativa a Q.

Continuando en este caso, si ${displaystyle mu }$ es cualquier medida en X para la cual ${displaystyle p={frac {{ m {d}}P}{{ m {d}}mu }}}$ y ${displaystyle q={frac {{ m {d}}Q}{{ m {d}}mu }}}$ existe, entonces la divergencia Kullback–Leibler de P a Q está dada por

Los logaritmos en estas fórmulas se toman como en base 2 si la información se mide en unidades de bits, o en base e si la información se mide en nats. La mayoría de fórmulas relacionadas con la divergencia KL se mantienen independiente de la base logarítmica.

Nos referiremos a la divergencia de P a Q, aunque algunos autores la llaman la divergencia "de Q a P" y otros la divergencia "entre P y Q" (aunque note que no es simétrica). Se debe tener cuidado debido a la falta de estandarización en la terminología.

En estadística, la divergencia de Kullback-Leibler está íntimamente relacionada con el método de ajuste de distribuciones por máxima verosimilitud. En efecto, si se tienen observaciones ${displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ independientes de una variable aleatoria con función de densidad desconocida f y se tratan de ajustar dentro de una familia de funciones de densidad ${displaystyle f_{lambda }}$, de acuerdo con la teoría de la máxima verosimilitud, se busca el parámetro ${displaystyle lambda }$ que maximiza la función

que puede aproximarse (cuando n es grande) por

Restando dicha expresión del término constante

se obtiene

que es la divergencia de Kullback-Leibler entre ${displaystyle f_{lambda }}$ y la distribución verdadera determinada por f. Es decir, maximizar la función de verosimilitud es (aproximadamente) equivalente a encontrar el parámetro ${displaystyle lambda }$ que minimiza la divergencia de Kullback-Leibler entre la distribución real y la familia de distribuciones parametrizadas por dicho parámetro.