Isometría

Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la categoría de espacios métricos. Dado un espacio euclídeo de dos o tres dimensiones, dos figuras u objetos se dice que existe isometría cuando son congruentes entre sí, o viceversa. Es el caso de las rotaciones

Las isometrías se usan en ocasiones para una construcción donde un espacio M' es dependiente de otro espacio M.

Formalmente si E₁ y E₂ son dos espacios métricos una isometría φ viene definida por lo siguiente:

${displaystyle varphi :E_{1} o E_{2}qquad forall (x,y)in E_{1} imes E_{1}: d_{1}(x,y)=d_{2}(varphi (x),varphi (y))}$

Siendo d₁(·,·) y d₂(·,·) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios métricos E₁ y E₂.

El conjunto de todas las aplicaciones que son isometrías de un conjunto contenido en un espacio métrico forma un grupo conocido como grupo de isometría del conjunto. En un espacio euclídeo de dimensión n el grupo de isometría ${displaystyle G_{iso},}$ de cualquier conjunto es un subgrupo del grupo producto formado a partir del grupo ortogonal y el grupo de traslaciones:

${displaystyle G_{iso}subset O(n) imes mathbb {R} ^{n}}$

Dados dos espacios vectoriales normalizados V y W,una isometría lineal es una aplicación lineal f : V → W que se ajusta a:

para todo v en V.

Se da el caso para isometrías generales, sí solo si son sobreyectivas. Según el teorema de Mazur-Ulam, cualquier espacio vectorial normado en el cuerpo de los números reales es isometría afín.