Espiral sinusoidal
En geometría, las espirales sinusoidales son una familia de curvas definidas por la ecuación en coordenadas polares
donde a es una constante distinta de cero y n es un número racional distinto de cero. Con una rotación sobre el origen, la ecuación también se puede escribir como
El término "espiral" es un nombre inapropiado, porque en realidad no son espirales, y a menudo tienen forma lobulada. Muchas curvas bien conocidas son espirales sinusoidales, entre las que se incluyen:
Las curvas fueron estudiadas por primera vez por Colin Maclaurin.
Diferenciando
y eliminando a, resulta una ecuación diferencial para r y θ:
Entonces
lo que implica que el ángulo tangencial polar es
y entonces el ángulo tangencial es
(El signo aquí es positivo si r y cos nθ tienen el mismo signo, y negativo de lo contrario).
El vector tangente unidad,
tiene longitud uno, por lo que la comparación de la magnitud de los vectores en cada lado de la ecuación anterior da
En particular, la longitud de un solo bucle cuando es:
La curvatura viene dada por
La curva inversa de una espiral sinusoidal con respecto a un círculo con centro en el origen es otra espiral sinusoidal cuyo valor de n es el negativo del valor de la curva original de parámetro n. Por ejemplo, el inverso de la lemniscata de Bernoulli es una hipérbola.
La isóptica, la podaria y la podal negativa de una espiral sinusoidal son diferentes espirales sinusoidales.
Un camino de una partícula que se mueve de acuerdo con un fuerza central proporcional a una potencia de r es una espiral sinusoidal.
Cuando n es un número entero, y n puntos se distribuyen regularmente en un círculo de radio a, entonces el conjunto de puntos de modo que la media geométrica de las distancias desde el punto al n puntos es una espiral sinusoidal. En este caso, la espiral sinusoidal es una lemniscata polinomial.