Fibrado cotangente

En geometría diferencial, el fibrado cotangente de una variedad es la unión de todos los espacios cotangentes en cada punto de la variedad.

Las secciones diferenciables del fibrado cotangente son uno-formas diferenciales, también se llaman formas de Pfaff o formas pfaffianas.

El fibrado cotangente tiene una 2-forma simpléctica canónica en él, como derivada exterior de la uno-forma canónica.

La uno-forma asigna a un vector en el fibrado tangente del fibrado cotangente la aplicación del elemento en el fibrado cotangente (una funcional lineal) a la proyección del vector en el fibrado tangente (el diferencial de la proyección del fibrado cotangente a la variedad original). Se puede probar que la derivada exterior de esta forma es simpléctica observando que el ser simpléctico es una propiedad local: puesto que el fibrado cotangente es localmente trivial, esta definición necesita solamente ser comprobada en Rⁿ × Rⁿ. Pero allí la uno forma definida es la suma de y_idx_i, y el diferencial es la forma simpléctica canónica, la suma de dy_i∧dx_i.

Si la variedad M representa el conjunto de posiciones posibles en un sistema dinámico, entonces el fibrado cotangente de T^*M se puede pensar como el conjunto de posible posiciones y momentos. Por ejemplo, esto es una manera fácil de describir el espacio de fase (no trivial) de un péndulo esférico tridimensional: una bola masiva obligada a moverse a lo largo de una 2-esfera. La construcción simpléctica antedicha, junto con una función apropiada de energía, da una determinación completa de la física del sistema. Vea mecánica hamiltoniana para más información.

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