Función armónica

En matemáticas, sea f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rⁿ) una función real de n variables, se le llama armónica en D si sobre D tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden y satisfacen la ecuación de Laplace:

${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial x_{2}^{2}}}+cdots +{frac {partial ^{2}f}{partial x_{n}^{2}}}=0}$

en D. Esto se suele escribir como

Si trabajamos con una única variable real, las soluciones a la ecuación de Laplace son siempre sinusoides, es decir, combinaciones lineales de senos y cosenos. En dimensiones superiores y con variable compleja puede ser más complicado. Aquí presentamos unos ejemplos:

La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa son funciones armónicas. Esto se deriva de que toda función holomorfa verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En tal caso se dice que son armónicas conjugadas.

Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.

Las funciones armónicas son infinitamente derivables. De hecho, son funciones analíticas.

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D, entonces f, en K, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.

Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto si f es constante (conocido como el principio fuerte del máximo).

El teorema recibe otros nombres como propiedad de la media de las funciones armónicas. Establece que si tenemos una función armónica definida en una bola, podemos determinar el valor de la función en el centro de la bola a partir de la media de los valores de la función en su superficie. Es más:

Si ${displaystyle B(x,r)}$ es una bola de centro x y radio r contenida completamente en D, entonces el valor de f(x) en el centro de la bola está dado por el valor medio de f en la superficie de la bola; este valor medio es también igual al valor medio de f en el interior de la bola. En otras palabras

${displaystyle u(x)={frac {1}{omega _{n}r^{n-1}}}oint _{partial B(x,r)}u,dS={frac {n}{omega _{n}r^{n}}}int _{B(x,r)}u,dV}$

donde ${displaystyle omega _{n}}$ es el área de la superficie de la bola unidad en n dimensiones.

Si f es una función armónica definida en todo Rⁿ que está acotada superior o inferiormente, entonces f es constante.

Una función continua sobre el círculo unidad que además sea armónica en el interior de dicho círculo queda determinada por los valores que toma la función sobre el círculo unidad:

${displaystyle u(r, heta )=int _{S^{1}}{frac {1-r^{2}}{1-2rcos heta +r^{2}}}f( heta ) d heta }$

donde:

La construcción anterior mediante el núcleo de Poisson puede extenderse al caso de una n-esfera:

${displaystyle u(mathbf {x} )=int _{S^{n}}{frac {1-|mathbf {x} |^{2}}{|mathbf {x} -{oldsymbol {zeta }}|^{n}}}f({oldsymbol {zeta }}) d^{n}{oldsymbol {zeta }}}$

Una función sub-armónica sobre un dominio ${displaystyle scriptstyle Omega }$ es una función ${displaystyle scriptstyle u}$ continua sobre ese dominio que satisface la propiedad de ser inferior a su valor medio sobre un contorno cerrado. Esa condición se satisface si para cada ${displaystyle scriptstyle ain Omega }$ existe una bola cerrada ${displaystyle scriptstyle {ar {B}}(a,R)subset Omega }$ de centro ${displaystyle scriptstyle a}$ y radio ${displaystyle scriptstyle R}$ tal que:

${displaystyle u(a)leq int _{S^{n}}u(a+rzeta ) dsigma (zeta )}$

siempre que ${displaystyle scriptstyle 0<rleq R}$, siendo ${displaystyle scriptstyle S^{n}}$ la n-esfera unidad y ${displaystyle scriptstyle zeta in S^{n}}$.

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