Geodésica

En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El plano osculador de la geodésica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.

Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la distancia más corta entre dos puntos en el espacio. Un ejemplo físico, de variedad semiriemanniana es el que aparece en la teoría de la relatividad general, que establece que las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvo.

El término "geodésico" proviene de la palabra geodesia, la ciencia de medir el tamaño y forma del planeta Tierra; en el sentido original, fue la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra, específicamente, el segmento de un círculo máximo.

En una superficie curva o variedad riemanniana la longitud L_C a lo largo de una curva contenida en ella se evalúa gracias a las componentes g_ij del tensor métrico g del siguiente modo:

${displaystyle L_{C}=int _{C}{sqrt {sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}} dt}$

Donde x_i(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Todas las líneas geodésicas son extremales de la integral anterior. Para encontrar la ecuación de las geodésicas, consideraremos que dichas geodésicas están parametrizadas mediante la longitud de arco s. En ese caso, usando los símbolos de Christoffel asociados a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasa por un punto x₀ y tiene el vector tangente v constante satisface la siguiente ecuación:

(1)${displaystyle {egin{cases}{cfrac {d^{2}x^{mu }}{ds^{2}}}+sum _{sigma , u }Gamma _{sigma u }^{mu }{cfrac {dx^{sigma }}{ds}}{cfrac {dx^{ u }}{ds}}=0\x(0)=x_{0}quad {cfrac {dx}{ds}}{Big |}_{x_{0}}=mathbf {v} end{cases}}}$

Es posible probar que la ecuación anterior puede obtenerse también por métodos variacionales de mínima acción. De hecho las geodésicas son una solución particular de las Ecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano basado en la forma cuadrática asociada al tensor métrico que interviene en el cálculo de longitudes.

Si consideramos una curva con parametrización totalmente general, mediante un parámetro t que no tenga por qué coincidir con el parámetro longitud de arco s, entonces la ecuación de la curva no cumplirá generalmente la ecuación (1). Sin embargo la curva recorrida seguirá siendo geodésica si y solo si existe una función ${displaystyle phi (t);}$ y se cumple la siguiente ecuación:

(2)${displaystyle {frac {d^{2}{ ilde {x}}^{mu }}{dt^{2}}}+sum _{sigma , u }Gamma _{sigma u }^{mu }{frac {d{ ilde {x}}^{sigma }}{dt}}{frac {d{ ilde {x}}^{ u }}{dt}}=left[{frac {dx(phi (t))}{ds}}{frac {{ddot {phi }}(t)}{{dot {phi }}^{2}(t)}} ight]}$

Donde ${displaystyle phi (t)=s;}$ es una función cuya derivada no se anula nunca que relaciona el parámetro t con el parámetro s cumpliéndose ${displaystyle x(phi (t)):={ ilde {x}}(t)}$.

(3)${displaystyle {ddot { heta }}-sin( heta )cos( heta ){dot {phi }}^{2}=0,qquad {ddot {phi }}+{frac {2cos( heta )}{sin( heta )}}{dot { heta }}{dot {phi }}=0}$

En particular un meridiano que atraviese los polos norte y sur, responde a las ecuaciones paramétricas:

(4)${displaystyle heta (s)={frac {s}{R}},qquad phi (s)=phi _{0}={mbox{cte.}}}$

Que satisface las ecuaciones (3) trivialmente.