Gran círculo

El gran círculo, denominado también círculo mayor o círculo máximo, es el círculo resultante de una sección realizada a una esfera mediante un plano que pase por su centro y la divida en dos hemisferios; la sección circular obtenida tiene el mismo diámetro que la esfera.^[1]​^[2]​

La distancia más corta entre dos puntos de la superficie de una esfera siempre es el arco de círculo máximo que los une.

En la geometría riemanniana este concepto sirve para ilustrar cómo hay espacios donde hay puntos (los antipodales) que admiten más de una geodésica contrastando lo que sucede en espacios euclídeos, en los que por dos puntos elegidos arbitrariamente solo pasa una única geodésica.

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < ${displaystyle alpha !}$ + ${displaystyle eta !}$ + ${displaystyle gamma !}$ < 540°

En geografía y cartografía, los círculos máximos que pasan por los polos determinan las líneas de longitud (meridianos). En la latitud, en cambio, existe solo un círculo máximo: el ecuador terrestre. Las demás latitudes están determinadas por círculos menores paralelos al ecuador (paralelos).

Los segmentos de grandes círculos son utilizados por barcos y aeronaves como rutas cuando las corrientes marinas y los vientos no tienen un efecto significativo. La duración del vuelo a menudo se puede estimar mediante un gran círculo entre dos aeropuertos. Al mismo tiempo, para las aeronaves que se mueven hacia el oeste entre continentes en el hemisferio norte , la ruta óptima se encuentra al norte del gran círculo, respectivamente, para el movimiento hacia el este, las rutas óptimas serán ligeramente hacia el sur.

Cuando las rutas aéreas o marítimas largas se muestran en un mapa plano (por ejemplo, en la proyección de Mercator), a menudo se ven torcidas. La ruta correspondiente al segmento recto en el mapa será más larga. El hecho es que en tales proyecciones, los círculos grandes no corresponden a líneas rectas. Las situaciones del mapa se muestran mejor en la proyección gnomónica, donde las líneas rectas son proyecciones de grandes círculos.

Para demostrar que el el arco menor de un círculo máximo es la trayectoria más corta que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se puede utilizar cálculo variacional a la misma.^[3]​

Si se considera la clase de todas las trayectorias regulares desde un punto ${displaystyle p}$ hasta otro punto ${displaystyle q}$. Se utilizan coordenadas esféricas de forma tal que ${displaystyle p}$ coincide con el polo norte. Toda curva sobre la esfera que no interseca alguno de los polos, excepto posiblemente los puntos finales, se puede parametrizar mediante

si se le permite a ${displaystyle phi }$ que tome valores reales arbitrarios. La longitud de arco infinitesimal en estas coordenadas es

Por lo que la longitud de una curva ${displaystyle gamma }$ desde ${displaystyle p}$ a ${displaystyle q}$ es un funcional de la curva dado por

Según la ecuación de Euler–Lagrange, ${displaystyle S[gamma ]}$ es mínimo si y solo si

donde ${displaystyle C}$ es una constante independiente de ${displaystyle t}$, y

De la primera de estas dos ecuaciones, se obtiene que

Integrando ambos miembros y considerando la condición de contorno, la solución real de ${displaystyle C}$ es cero. Por lo tanto, ${displaystyle phi '=0}$ y ${displaystyle heta }$ pueden tomar cualquier valor entre 0 y ${displaystyle heta _{0}}$, lo que indica que la curva debe encontrarse sobre un meridiano de la esfera. En coordenadas cartesianas, se expresa como

que es el plano que pasa por el origen, o sea el centro de la esfera.

Algunos ejemplos de grandes círculos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste, el ecuador celeste y la eclíptica. Los círculos máximos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de las geodésicas en la superficie de la Tierra para la navegación aérea o marítima (aunque no es una esfera perfecta), así como en los cuerpos celestes esferoidales.

El ecuador de la Tierra idealizada es un gran círculo y cualquier meridiano y su meridiano opuesto forman un gran círculo. Otro gran círculo es el que divide los hemisferios terrestre y acuático. Un círculo máximo divide la tierra en dos hemisferios y si un círculo máximo pasa por un punto, debe pasar por su punto antípoda.

La transformada de Funk integra una función a lo largo de todos los grandes círculos de la esfera.

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