Goniobarímetro

${displaystyle Qd(eta )=PLcos eta qquad (1)}$

${displaystyle d(eta )=keta cos eta quad qquad (2)}$

El problema matemático del goniobarímetro se plantea entonces en los siguientes términos: hallar la forma matemática de la curva ATH para que la distancia desde el origen hasta la tangente en un punto T cualquiera, verifique la ecuación (2) siendo β el complementario del ángulo α que forma dicha tangente con el eje X. La curva directriz ATH, quedaría entonces definida por la envolvente de todas esas tangentes que se pueden formar cuando varía el ángulo β. A continuación se demuestra que esa curva directriz es la cicloide.

La tangente correspondiente al ángulo β, corta a los ejes en los puntos:

${displaystyle Cleft({frac {-d(eta )}{cos eta }},0 ight)quad yquad Dleft(0,{frac {-d(eta )}{operatorname {sen} eta }} ight)}$

Su ecuación será por tanto:

${displaystyle xcos eta +yoperatorname {sen} eta +d(eta )=0}$

que según (2) se transforma en:

${displaystyle xcos eta +yoperatorname {sen} eta +keta cos eta =0quad qquad (3)}$

${displaystyle f=0}$

${displaystyle {frac {partial f}{partial eta }}=0}$

siendo f = 0 la ecuación (3)

${displaystyle xcos eta +yoperatorname {sen} eta +keta cos eta =0}$

${displaystyle -xoperatorname {sen} eta +ycos eta +kcos eta -keta operatorname {sen} eta =0}$

Resolviendo en x e y este sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas de la envolvente:

${displaystyle x=-keta +kcos eta operatorname {sen} eta quad qquad (4)}$

${displaystyle y=-kcos ^{2}eta quad qquad qquad qquad (5)}$

que haciendo el cambio de variable β = t/2, se transforman en:

${displaystyle x=-{frac {k}{2}}(t-operatorname {sen} t)}$

${displaystyle y=-{frac {k}{2}}(1+cos t)}$

donde se pueden reconocer las ecuaciones de la cicloide generada por una circunferencia de radio k/2 que rueda sobre la recta y = - k.

Curiosamente, el ingeniero Bacas, en su patente, termina su cálculo de la directriz en las ecuaciones (4) Y (5) y al parecer no reconoce en ellas las de la cicloide, cuyo nombre no cita en ningún momento. No se entiende muy bien por qué. Tal vez no la reconoció o tal vez no lo consideró un asunto relevante a la hora de fabricar una báscula. Por otra parte, el modelo final que él proponía para la realización de su báscula no utilizaba la cicloide (directriz tangencial) sino una de sus evolventes, a la que apropiadamente llama directriz normal.

El diseño de la forma del carril, puede hacerse teniendo en cuenta que su evoluta es la directriz tangencial. Puede obtenerse su forma analítica por los procedimientos habituales en cálculo o bien gráficamente, ajustando su trazado continuo por medio de su evoluta previamente construida, como describe su inventor en la patente por medio de la imagen de la figura 4.

La figura 5 muestra el prototipo de goniobarímetro que finalmente propuso su inventor. A efectos prácticos, el carril se ha diseñado como un tubo arqueado por el que rueda un contrapeso esférico. En la parte izquierda se aprecian dos contrapesos con posición variable en direcciones perpendiculares entre sí, que permiten situar el centro de gravedad de la parte móvil en el eje de giro. Los engranajes que se aprecian en la figura forman parte de un mecanismo de contabilidad que va acumulando los ángulos y por tanto los pesos. Esta acumulación de pesos es la que justifica que el limbo graduado tenga un giro completo aunque en cada pesada el goniobarímetro sólo se inclina como máximo 90 grados. Del extremo derecho de la barra colgaría el peso a medir.

En nuestros días los mecanismos de este tipo de básculas son principalmente una curiosidad histórica y didáctica al haber sido superados, para efectos prácticos, por las básculas electrónicas. Pero este diseño sigue teniendo interés por algo que Darío Bacas al parecer o no sospechó o no juzgó interesante: el estar basado en una propiedad de la cicloide, curva que se creía completamente estudiada, pero que encerraba, al menos, una nueva sorpresa.