Intervalo (matemáticas)

Un intervalo (del latín intervallum)^[1]​ es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ que satisface que, para cualesquiera ${displaystyle u,win I}$ y ${displaystyle vin mathbb {R} }$, si ${displaystyle u<v<w}$, entonces ${displaystyle vin I}$.^[2]​ Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.^[3]​

Un intervalo ${displaystyle I}$ es un subconjunto de ${displaystyle mathbb {R} }$ que verifica la siguiente propiedad:

Si ${displaystyle r}$ y ${displaystyle t}$ son elementos de ${displaystyle I}$ con ${displaystyle rleq t}$, entonces para todo ${displaystyle s}$ tal que ${displaystyle rleq sleq t}$, se cumple que ${displaystyle sin I}$

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Dados los números reales a y b que cumplen a<b, se define el conjunto ${displaystyle (a;b)=}$ ${displaystyle {xin mathbb {R} :,a<x<b}}$ llamado intervalo abierto de extremo inferior a y extremo superior b.

En palabras, el intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b.^[4]​ Se le nombra como un tipo de intervalo finito.

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ${displaystyle mathbb {R} }$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ${displaystyle mathbb {R} }$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a; b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]. Su exterior son las semirrectas (-∞; a] y [b; +∞).^[5]​ No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.^[6]​

Sí incluye los extremos.

En notación conjuntista:

Incluye únicamente uno de los extremos.

En notación conjuntista:

En notación conjuntista:

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.^[7]​ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.^[8]​

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.^[9]​

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:

En notación conjuntista:

Para todo valor real:

En notación conjuntista:

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .

El conjunto unión de A y B sería:

O también se puede anotar:

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos s.s.s. está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de A y B es el vacío:^[10]​

porque A y B no tienen puntos en común.

Se nota de la siguiente manera: ${displaystyle Acap B=varnothing }$

Dados los conjuntos A y C:

El conjunto unión de A y C es:

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.

El conjunto intersección de A y C es:

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y ${displaystyle in Re }$: −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita). Si

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

^[11]​

El número real x está en ${displaystyle I=[a,b],}$ si sólo si ${displaystyle aleq xleq b}$. Los puntos a y b son elementos del intervalo cerrado I; a es el ínfimo y b el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos a y b con ${displaystyle aleq xleq b}$. El intervalo abierto ${displaystyle (a,b)!}$ es el interior del intervalo cerrado de extremos a y b; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado ${displaystyle I=[a,b],}$; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta . ^[12]​

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, que es el producto cartesiano de n intervalos: ${displaystyle I=I_{1} imes I_{2} imes cdots imes I_{n}}$, uno en cada eje de coordenadas......

En términos topológicos, en el espacio métrico ${displaystyle mathbb {R} }$ usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

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