Grupo (matemática)

En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico .^[1]​

La formulación axiomática del concepto de grupo permite la separación desde lo concreto hacia lo abstracto, favoreciendo trabajar de una manera flexible y dinámica entre diferentes objetos matemáticos, para permitir un tratamiento general de todos ellos, gracias a que poseen un sustrato estructural inherente y común. De este modo, un teorema válido para un objeto concreto puede ser verificado para otro de la misma categoría, elevándose a una teoremática abstracta que a todos ellos afecta.

Existen millones de grupos y su estudio pormenorizado sin un cuerpo axiomático, aun con la ayuda informática, se haría del todo inviable y poco práctico, por ello, el álgebra abstracta tiene este importante papel que se traslada a las matemáticas aplicadas y a las ciencias que lo requieran, para su fundamentación teórica y posterior utilización práctica.

La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.^[2]​^[3]​

Las condiciones necesarias y suficientes para que el par ${displaystyle (G,,circledast )}$ sea un grupo son:

A veces, para simplificar el discurso se dice «G es un grupo» cuando deseamos indicar que «(G,${displaystyle circledast }$) es un grupo».^[1]​

Para que (G,${displaystyle circledast }$) pueda satisfacer la existencia de una estructura de monoide o de semigrupo con elemento neutro, debe satisfacer las siguientes propiedades:

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de los números enteros «ℤ» que está formado por los números enteros (números que carecen de parte decimal) y que están dotados de signo (positivos y negativos) junto con el {0}.

Por extensión, entre otros números, contiene a los siguientes: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,  ...^[5]​

Las propiedades que verifican los elementos de este grupo, ayudará a ilustrar los siguientes sub-apartados.

Los enteros, junto con la operación aditiva o «+», forma parte de un tipo de objetos matemáticos que se integran en la definición de grupo ya que comparten los aspectos estructurales esenciales que sirven para conocer su comportamiento desde el punto de vista algebraico. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto, es necesario desarrollar una definición abstracta, como la que a continuación, se expone.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones algebraicas en una incógnita, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870.

La definición de grupo (G, *) usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro, de elemento inverso y la noción de operación binaria, fue formulada por F.G. Frobenius, por primera vez en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba dependían únicamente de los axiomas propuestos y sin tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.^[6]​

Los grupos conmutativos son los que, además verifican la propiedad conmutativa, son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matemático danés Niels Abel que en su importantísima aportación, demostró la irresolución de la quíntica mediante radicales en 1846 a partir de Ruffini en lo que se denomina teorema de Abel-Ruffini y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones. Posteriormente Évariste Galois probó con sus nuevas teorías que la irresolución del grupo S₅ implicaría la demostración fehaciente de lo que Abel descubrió sobre la irresolubilidad de la ecuación de quinto grado mediante el uso de radicales.

Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notación se llegó a utilizar de forma extendida en la generalización de las definiciones axiomáticas y abstractas en teoría de grupos; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notación y nomenclatura propias del álgebra abstracta.

La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí.^{[nota 1]}​ Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en subsistemas más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica fue desarrollada para grupos finitos y culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983.^{[nota 2]}​ Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la amplia teoría de grupos.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en física como en matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan, es un punto culminante de la matemática europea, solo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que esta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. La clasificación de grupos de Lie proporciona la lista de los posibles grupos existentes de simetrías infinitesimales, válidos para eventuales y futuros modelos científicos.

La teoría de grupos comparte un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan invariante el objeto y la operación de combinar dos de estas transformaciones.

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa como D₄. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

Un grupo es un par ordenado compuesto por un conjunto, G y una operación binaria cerrada en G o ley de composición interna «${displaystyle circledast }$» que al componer dos elementos cualesquiera de G: a y b, obtiene otro elemento de G cuya notación es a ${displaystyle circledast }$ b.

En álgebra abstracta la mayor parte de las estructuras algebraicas del tipo (E, #); siendo E un conjunto no nulo y # un operador que puede ser interno o externo, quedan establecidas gracias a una definición parcial de la axiomática de grupo.^[7]​^[8]​^[9]​

Ante un conjunto, necesariamente no vacío, cuando se parte desde el establecimiento de un operador externo ¬, el par (O, ¬) nunca podrá alcanzar la estructura de grupo mediante construcción, aunque puede estructurar algebraicamente en otras formas:

Para alcanzar mediante construcción la estructura de grupo, es necesario que el operador establecido sea interno o lo que es lo mismo, que el conjunto G para el operador esté clausurado. Para ello, existen dos caminos, que se excluyen mutuamente entre sí y que, de manera independiente, permiten establecer una estructura de grupo sobre el par (M, ${displaystyle circledast }$)

El primer camino para alcanzar la estructura de grupo, se inicia desde un magma, que es la estructura que tiene un conjunto M no vacío y un operador interno:

El segundo camino para alcanzar la estructura de grupo mediante construcción, parte como premisa de que el magma verifique la divisibilidad de todos sus elementos o lo que es lo mismo, que cada uno de ellos tenga un elemento simétrico, se establece un cuasigrupo ${displaystyle (Q,,,|)}$. Si el cuasigrupo verifica la existencia de elemento neutro, estamos ante un bucle. A partir de aquí, cuando los elementos del bucle puedan asociarse entre sí mediante el operador, verificando así la propiedad asociativa, el bucle se transforma en un grupo.

El grupo (G, ${displaystyle circledast }$), debe satisfacer las siguientes propiedades, denominadas axiomática de grupo:^[10]​

También conocido como cerradura, quedó establecida en la anterior definición; Cuando en (G, ${displaystyle circledast }$) el resultado de operar sus elementos entre sí es otro elemento del mismo conjunto por lo que, la operación se mantiene cerrada para dicho conjunto.

Al establecer que un conjunto (M, ${displaystyle circledast }$) posee un operador interno, estamos definiendo en dicho conjunto M, una estructura algebraica de magma.^[11]​

Sean a, b y c elementos de (G, ${displaystyle circledast }$), se verifica que: ${displaystyle (acircledast b)circledast c=acircledast (bcircledast c)}$. Al establecer que un conjunto (S, ${displaystyle circledast }$) cumple con la ley asociativa queda definida una estructura algebraica de semigrupo.^[11]​

Existe un elemento e de G que al ser operado por un elemento cualquiera a de G; deja invariante a este último ^[12]​ verificando lo siguiente, si G es un grupo abeliano (caso contrario, verificará una de sus partes): ${displaystyle exists e,,forall ain Gquad :quad acircledast e=ecircledast a=a}$

En grupos multiplicativos abelianos ,^[13]​ el elemento identidad, también denominado elemento unidad se denota con frecuencia como 1 o 1_G,^[14]​ una notación heredada de la identidad multiplicativa.

En grupos no abelianos se cumplirá solamente una de sus partes, si es grupo por la izquierda: ${displaystyle ecdot a=a}$ y si es grupo por la derecha: ${displaystyle acdot e=a}$; pero no se podrán cumplir ambas.

En grupos aditivos abelianos, el elemento cero, se denota con frecuencia como 0 o 0_G,.^[14]​

En grupos no abelianos se cumplirá solamente una de sus partes, si es grupo por la izquierda: ${displaystyle e,,+,,a=,,a}$ y si es grupo por la derecha: ${displaystyle a,,+,,e=,,a}$; pero nunca, cumplir ambas, al no poder verificar la propiedad conmutativa.

El elemento neutro, de verificarse su existencia, es único.

Demostración: Dejamos competir dos elementos neutros en G para operar entre ellos por la izquierda: e₁ y e₂.

${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ar {e_{2}}}circledast {e_{1}}={e_{1}}}$.

${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ar {e_{1}}}circledast {e_{2}}={e_{2}}}$.

${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{e_{1}},,=,,{e_{2}}}$. En consecuencia ${displaystyle ,,,,,{e},=,{e_{1}},=,{e_{2}}}$, luego solo existe un elemento neutro.

La demostración al operar entre ellos por la derecha obtiene idéntico resultado.

Los semigrupos dotados de elemento neutro además de ser definidos como semigrupos con elemento neutro lo son como monoides.

Esta es la característica esencial para determinar si un conjunto G es un grupo, necesariamente, (G, ${displaystyle circledast }$) debe de ser un monoide, cumpliendo las anteriores propiedades expuestas y además, verificar la existencia del elemento simétrico para cada uno de los elementos del monoide, es decir: Para todo a de G, existe un elemento y solo uno, que denotamos como ā tal que: ${displaystyle acircledast {ar {a}}=e}$; siendo e el elemento neutro de G y ā el elemento simétrico de a; ${displaystyle forall ain G,,exists {ar {a}}/,,,acircledast {ar {a}}=e.}$

En grupos no conmutativos, el orden en el que se hace la operación de grupo es esencial porque el resultado de operar el elemento a con el elemento ā puede ser distinto al obtenido operando ā con a y entonces verifica la propiedad de manera parcial, puede ser simétrico por la izquierda o simétrico por la derecha.

Así es posible verificar lateralmente la existencia de elemento simétrico si:

En grupos no conmutativos simétricos por la derecha, se verifica ${displaystyle forall ain G,,exists {ar {a}}/,,acircledast {ar {a}}=e.}$

En grupos no conmutativos simétricos por la izquierda, se verifica ${displaystyle forall ain G,,exists {ar {a}}/,,{ar {a}}circledast a=e.}$

La existencia de un elemento simétrico bilátero, debe de cumplir el requisito de ser un mismo elemento operado por ambos lados, en consecuencia, queda establecida una relación biunívoca entre un elemento dado a y su simétrico ā.

En un grupo, cada uno de los elementos tiene un (y solo un) elemento simétrico.

Demostración: Dejamos competir dos elementos simétricos respecto a un elemento ${displaystyle {x}}$ en G.
${displaystyle forall {x}in {G}}$; sean los candidatos a simétrico de ${displaystyle {x},,,,:,,,,{ar {x}},,,,{y},,,,{ ilde {x}},,,,;,,forall ,,{ar {x}},,wedge ,,{ ilde {x}},,in {G}}$.

Operamos por la izquierda:
${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ar {x}}circledast {x}={e}}$. ${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ ilde {x}}circledast {x}={e}}$.
Y ahora, por la derecha:
${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{x}circledast {ar {x}}={e}}$. ${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{x}circledast { ilde {x}}={e}}$.

Deduciéndose que:
${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ar {x}}circledast {x}={x}circledast {ar {x}}=e}$ ${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ ilde {x}}circledast {x}={x}circledast { ilde {x}}=e}$

En consecuencia y aplicando el teorema cancelativo:
Por la izquierda:
${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{ar {x}}circledast {x}={ ilde {x}}circledast {x}Longrightarrow {ar {x}}={ ilde {x}}}$
Y por la derecha:
${displaystyle ,,,,,,,,,,,,,,{x}circledast {ar {x}}={x}circledast { ilde {x}}Longrightarrow {ar {x}}={ ilde {x}}}$

Luego solo existe un elemento simétrico para ${displaystyle ,,,,,{x},=,{ar {x}},=,{ ilde {x}}}$.

Sean a y b elementos de (G, ${displaystyle circledast }$) cuando es posible operar en cualquier orden de manera indistinta: a con b o b con a, para obtener un mismo resultado; se está cumpliendo la conmutatividad en el grupo: ${displaystyle acircledast b=bcircledast a}$.

Los grupos que son conmutativos, se denominan grupos abelianos y su notación es Ab

En grupos abelianos multiplicativos, la propiedad conmutativa se expresa de esta manera: ${displaystyle forall ain G,,exists a^{-1},:,{acdot a^{-1}=a^{-1}cdot a}=1}$

En los grupos no conmutativos multiplicativos, solamente es verificable una de sus partes, o bien: ${displaystyle acdot a^{-1}=1}$ o bien: ${displaystyle a^{-1}cdot a=1}$, dependiendo de que, respectivamente, se trate de un grupo lateral por la derecha o por la izquierda.

En grupos abelianos aditivos, la propiedad conmutativa se expresa de esta manera: ${displaystyle forall ain G,,exists (-a),:,a+(-a)=(-a)+a=0}$

En los grupos no conmutativos aditivos, solamente es verificable una de sus partes, o bien: ${displaystyle a+(-a)=0}$ o bien: ${displaystyle (-a)+a=0}$, dependiendo de que, respectivamente, se trate de un grupo lateral por la derecha o por la izquierda.

Cuando un grupo verifica lateralmente su conmutatividad, no es un grupo abeliano, en todo caso es un grupo semiconmutativo por la derecha o por la izquierda.

El par (G,${displaystyle circledast }$) representa a un conjunto, no necesariamente numérico, al que denotamos con G (de grupo) y un operador interno general «${displaystyle circledast }$», que no implica que sea una operación aritmética al uso, también podría significar una sustitución, una rotación, un giro, una trasposición, etc.

${displaystyle odot ;,quad circledcirc ;,quad oplus ;,quad ominus ;,quad circledast ;,quad otimes ;,quad oslash ;.}$

En conjuntos que estructuran en grupos abstractos en general, sean numéricos o anuméricos:
${displaystyle ullet ;,quad ast ;,quad star ;,quad odot }$

En espacios y subespacios vectoriales:
${displaystyle ullet ;,quad otimes ;,quad odot }$

En conjuntos numéricos aritméticos:
${displaystyle imes ;,quad ast ;,quad cdot }$

En el contexto aritmético se prescinde del uso del signo: ${displaystyle acdot b=ab}$.

En el contexto aritmético es usual el uso del signo "por": ${displaystyle imes }$ o su elisión.

La división es un caso específico del producto, simbolizada por signos como «:», «/» y en casos especiales: «», «/» y «|», siendo considerada la operación opuesta a la multiplicación.

En el estudio de las estructuras algebraicas se considera al operador producto, como el operador que incluye a ambas operaciones aritméticas, aunque es posible especificar el operador cociente o división por la naturaleza del grupo a estudiar, en este caso se usan los signos específicos:«:», «/», «», y «|».
${displaystyle (+a) imes (+b)=+abquad }$
${displaystyle (+a):(+b)=a imes b^{-1}=+ab^{-1}quad }$
${displaystyle (+a) imes (-b)=-abquad }$
${displaystyle (a):(-b)=a imes (-b^{-1})=-ab^{-1}quad }$
${displaystyle (-a) imes (+b)=-abquad }$
${displaystyle (-a):(+b)=(-a) imes b^{-1}=-ab^{-1}quad }$
${displaystyle (-a) imes (-b)=+abquad }$
${displaystyle (-a):(-b)=(-a) imes (-b^{-1})=+ab^{-1}quad }$

Dados dos grupos, uno potenciativo ${displaystyle (G,x^{n})}$ y el otro, multiplicativo ${displaystyle (G^{*}, imes )}$; se establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${displaystyle quad {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n,,,,,,{ ext{veces}}}}$
${displaystyle forall {x}in G,,,Rightarrow a^{n}=overbrace {acdot acdot acdot ...cdot a} }$

En el entorno de los naturales, entre el grupo potenciativo ${displaystyle (mathbb {N} ,x^{n})}$ y el multiplicativo ${displaystyle (mathbb {N^{*}} , imes )}$; se establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${displaystyle quad {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n,,,,,,{ ext{veces}}}}$
${displaystyle forall {n}in mathbb {N^{*}} ,,,Rightarrow a^{n}=overbrace {acdot acdot acdot ...cdot a} }$

ampliamente conocido en la literatura aritmética básica.

Las notaciones del tipo ${displaystyle quad {frac {1}{a}}}$ o ${displaystyle 1/a}$ quedan restringidas para el área aritmética, con grupos numéricos, exclusivamente. Esta notación es equivalente a la notación algebraica ${displaystyle a^{-1}}$ para significar el inverso de ${displaystyle a,,,,,,forall ,a,in mathbb {X^{*}} }$ siendo ${displaystyle mathbb {X^{*}} }$, un grupo numérico abeliano multiplicativo, como los siguientes: ${displaystyle [mathbb {Q^{*}} ,,vee ,,mathbb {R^{*}} ,,vee ,,mathbb {C^{*}} ,,,,,,,ullet ,,]}$.

El contraejemplo puede extraerse del grupo de matrices cuadradas inversibles de orden 2, donde representaremos por ${displaystyle A^{-1}}$ a la matriz inversa de ${displaystyle A}$ y nunca hemos de utilizar la notación anterior, como ${displaystyle {frac {1}{A^{-1}}}}$.

Para distinguir el elemento cero entre dos o más grupos, notaremos junto a 0, un sub-índice derecho con el nombre del grupo: p.ej. G o del subgrupo: p.ej. H:

En el contexto aritmético es usual el uso de ambos signos: + y - ; entiéndase respectivamente como suma y resta. La resta, a nivel algebraico es un caso particular de la adición, siendo considerada la operación opuesta a la suma. En el estudio de las estructuras algebraicas se considera al operador aditivo como el operador que incluye a ambas operaciones aritméticas.
${displaystyle (+a)+(+b)=a+bquad }$
${displaystyle (+a)+(-b)=a-b}$ ^[12]​
${displaystyle (-a)+(+b)=b-aquad }$
${displaystyle (-a)+(-b)=-(a+b)=(-a)+(-b)=-a-b.}$

Es importante distinguir entre operador aditivo y signo del número. Los signos están notados entre paréntesis junto al número, porque forma parte de la manera en que el número es representado, mientras que el operador figura entre números, fuera de los paréntesis. Para mayor aclaración, las propiedades anteriores van a ser notadas con símbolos distintos para diferenciar entre operador aditivo (con el signo ${displaystyle oplus }$ y en negritas: + , -) y signo:
${displaystyle (+a)oplus (+b)=a,,,}$+${displaystyle ,,,b}$.
${displaystyle (+a)oplus (-b)=a,,,}$-${displaystyle ,,,b}$.
${displaystyle (-a)oplus (+b)=-a,,,}$+${displaystyle ,,,b,,,=,,,b,,,}$-${displaystyle ,,,a}$.
${displaystyle (-a)oplus (-b)=-(a,,,}$+${displaystyle ,,,b)=(-a),,,}$+${displaystyle ,,,(-b)}$.

Dados dos grupos, uno aditivo ${displaystyle (G,+)}$ y el otro, multiplicativo ${displaystyle (G^{*}, imes )}$; se establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${displaystyle quad {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n,,,,,,veces}}$
${displaystyle forall {n}in G^{*},,,Rightarrow na=overbrace {a+a+a+...+a} }$

En el entorno de los naturales, el aditivo ${displaystyle (mathbb {N} ,+)}$ respecto al multiplicativo ${displaystyle (mathbb {N^{*}} , imes )}$; establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${displaystyle quad {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n,,,,,,veces}}$
${displaystyle forall {n}in mathbb {N^{*}} ,,,Rightarrow na=overbrace {a+a+a+...+a} }$

ampliamente conocido en la literatura aritmética básica.

Cuando en un grupo ${displaystyle (G,circledast )}$, dados los elementos de ese grupo: ${displaystyle ,,a,,,b,,,c,,in G}$ tomamos como referencia al elemento ${displaystyle a}$ para verificar el cumplimiento de la ley cancelativa por la izquierda (tómese ${displaystyle a}$ como el elemento que opera a la izquierda de los demás), de tal manera que:
${displaystyle ,,a,,circledast ,,b,,=,,a,,circledast ,,c,,Rightarrow ,,b,,=,,c,,}$
Si el grupo verifica el cumplimiento de la ley por la derecha:
${displaystyle ,,b,,circledast ,,a,,=,,c,,circledast ,,a,,Rightarrow ,,b,,=,,c,,}$
verifica la bilateralidad de la ley, haciéndola válida para grupos abelianos.

Cuando en un grupo ${displaystyle (G,circledast )}$ se dan elementos conocidos: ${displaystyle ,,a,,}$ y ${displaystyle ,,b,,in G}$ y un elemento desconocido ${displaystyle ,,x,,in ,,G}$ relacionados entre sí mediante la ecuación, por la izquierda fijado en ${displaystyle a}$:
${displaystyle ,,a,,circledast ,,x,,=,,b,,}$
Se verifica que x tiene en ${displaystyle G}$ un valor concreto y único:${displaystyle ,,x,,=,,{a^{-1}},,circledast ,,b,,}$. De idéntica manera, puede tratarse el caso de una ecuación fijado en ${displaystyle a}$ por la derecha, de tal manera que:
${displaystyle ,,y,,circledast ,,a,,=,,b,,}$
Verificándose que y tiene en ${displaystyle G}$ un valor concreto y único:${displaystyle ,,y,,=,,b,,circledast ,,{a^{-1}},,}$.
En grupos abelianos al verificarse la bilateralidad de este teorema:
${displaystyle ,,a,,circledast ,,x,,=,,b,,}$ es equivalente a ${displaystyle ,,y,,circledast ,,a,,=,,b,,}$

En consecuencia, mediante la utilización del teorema cancelativo, la solución es única:
${displaystyle x=yLeftrightarrow {a^{-1}}circledast {b}={b}circledast {a^{-1}}}$.

entonces se dice que (A,*) es un grupo cíclico y que g es un generador de A, lo cual se denota por A=<g>. La clasificación de grupos cíclicos afirma que los finitos son isomorfos a ℤ/nℤ* (ℤ* ${displaystyle equiv }$ ℤ - {0}) y los infinitos con ℤ.

Para poder definir una estructura de grupo abeliano multiplicativo sobre los conjuntos numéricos usuales, es necesario que sean desprovistos del elemento {0}, debido a que el 0 no es divisor de ningún elemento y la estructura pierde estabilidad. La notación para nombrar un conjunto numérico sin el cero es de la forma ${displaystyle mathbb {X^{*}} }$ que equivalente a ${displaystyle mathbb {X} }$ - {0}. En general, para los grupos abelianos multiplicativos, se cumple lo que sigue:

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el elemento neutro es la identidad:

Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de Grupo de Lie, que son los grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas superficies o variedades de dimensión mayor.

Un grupo puede tener infinitos elementos, como por ejemplo, el grupo abeliano (ℤ, +) o el grupo abeliano multiplicativo de ℝ - {0} : (ℝ^*,·) o por el contrario tener un número finito de elementos.

Dado un número natural n, los restos que se obtienen al dividir por n (es decir, los números 0, 1, ..., n - 1) forman un grupo, este grupo se denota con ℤ/nℤ* y se denomina grupo de enteros módulo n.

Así, el grupo ℤ/(12)ℤ* es el que usamos para calcular con las horas del reloj analógico, y ℤ/(24)ℤ* para calcular las horas en el reloj digital que no distinga entre mañana o tarde, los que lo distinguen anteponen A.M. o P.M. respectivamente.

En el grupo ℤ/(12)ℤ* si tomamos algún número que tenga algún factor común con 12, por ejemplo el 10, este no puede ser multiplicado por otro número de forma que el resto de la división entre 12 sea 1, por lo que 10 no tendría inverso, es por lo que es necesario comprender que el resultado de dividir 12 entre 10 arroja el resto 2 y no otro, de esa forma, es posible considerar ℤ/(12)ℤ* como un grupo y además, el elemento del grupo (el resto 2) posee un inverso.

Así, solo son elementos del grupo ℤ/(12)ℤ* aquellos números coprimos con 12, ℤ/(12)ℤ* = {1, 5, 7, 11}.

El grupo multiplicativo ℤ/(5)ℤ* tiene que tener como mínimo al menos, 4 elementos para permitir la existencia de elemento inverso, siendo los coprimos de 5, los menores hasta el 1. ℤ/(5)ℤ* = {1, 2, 3, 4} que es el número mínimo de elementos que tiene que tener el grupo ℤ/nℤ* para permitir la existencia de elementos inversos.

En el caso de que n sea primo, como por ejemplo ℤ/(7)ℤ* serían coprimos todos los menores a 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6} es por lo que este grupo tendrá un cardinal n - 1; Card [ℤ/(7)ℤ*] = 7 - 1 = 6.

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