Límite matemático

En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto ${displaystyle L}$, si existe, para valores grandes de ${displaystyle n}$. Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a ${displaystyle infty }$.

Formalmente, se dice que la sucesión ${displaystyle a_{n}}$ tiende hasta su límite ${displaystyle L}$, o que converge o es convergente (a ${displaystyle L}$), y se denota como:

${displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=L}$

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural ${displaystyle N}$ tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural ${displaystyle n}$ mayor que ${displaystyle N}$, se acerquen a ${displaystyle L}$ cuando ${displaystyle n}$ crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

${displaystyle a_{n} o LLeftrightarrow }$ ${displaystyle forall varepsilon >0,exists N>0:forall n>N,|a_{n}-L|<varepsilon }$

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que este pertenezca al dominio de la función.^[1]​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:

${displaystyle lim _{x o c},,f(x)=L}$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

Esta definición se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=cRightarrow lim _{n o infty }f(x_{n})=f(c)}$

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera ${displaystyle A_{n}}$, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

${displaystyle liminf _{n ightarrow infty }A_{n}={igcup _{n=1}^{infty }}left({igcap _{m=n}^{infty }}A_{m} ight)leq lim _{n ightarrow infty }A_{n}leq limsup _{n ightarrow infty }A_{n}={igcap _{n=1}^{infty }}left({igcup _{m=n}^{infty }}A_{m} ight)}$

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

${displaystyle liminf _{n ightarrow infty }A_{n}<limsup _{n ightarrow infty }A_{n}}$

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea ${displaystyle (X,T)}$ un espacio topológico y ${displaystyle (x_{d})_{din D}}$ una red en ${displaystyle X}$. Se dice que ${displaystyle xin X}$ es un punto límite de la red ${displaystyle (xin lim _{din D}x_{d})}$ si la red está eventualmente en cada entorno de ${displaystyle x}$, es decir, si cualquiera que sea el entorno ${displaystyle V}$ de ${displaystyle x}$ (esto es, cualquiera que sea el conjunto ${displaystyle V}$ de forma que exista un abierto ${displaystyle G}$ tal que ${displaystyle xin Gsubset V}$) existe un ${displaystyle d_{0}in D}$ de tal forma que para cada ${displaystyle din D}$ con ${displaystyle d_{0}sim d}$ se cumple que ${displaystyle x_{d}in V}$.

En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o ${displaystyle lim {mathcal {B}}=x}$, si para todo entorno U de x, existe un B₀ ∈ B tal que B₀ ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.^[2]​^[3]​

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.^[2]​

En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo ${displaystyle phi :ell _{infty } o mathbb {R} }$ definido sobre el espacio de Banach ${displaystyle ell _{infty }}$ para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si ${displaystyle x_{n}}$ es una sucesión convergente, entonces ${displaystyle phi (x)=lim _{n}x_{n}}$, generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, ${displaystyle phi }$ es una extensión del funcional continuo ${displaystyle lim :cmapsto mathbb {C} .}$^[4]​

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.^[4]​

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.

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