Límites al infinito

En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función;^[1]​ es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.
O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.

La palabra asíntota deriva del gr: ἀσύμπτωτος asýmptōtos, «aquello que no cae»; en donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos connota a aquello que «cae» o «cae junto (a algo)». Se suele dar la definición de asíntota a una curva que «no se encuentran nunca».^[2]​ Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.^[3]​

En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o partes de funciones: segmentos de recta, hojas de hipérbola o de parábola, etc. Es en este sentido que se habla de «recta asintótica» como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.

Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan con el concepto de límite matemático, y con ello también el cálculo de asíntotas.

Ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).

Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.

Se distinguen tres tipos:

En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la división por cero o las formas indeterminadas) aporta información valiosa sobre su gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como «soluciones» (o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito (o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asintótico.

Se llama Asíntota Vertical de una rama de una curva y = f(x), a la recta paralela al eje y que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe alguno de estos dos límites:

a la recta x = a se la denomina asíntota vertical.
Ejemplos: logaritmo neperiano, tangente

Se llama Asíntota Horizontal de una rama de una curva y = f(x) a la recta paralela al eje x que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe el límite:

la recta y = a es una asíntota horizontal.
Ejemplos: función exponencial, tangente hiperbólica

La recta de ecuación y = mx + b (m ≠ 0) será una asíntota oblicua si: ${displaystyle lim _{x o pm infty }[f(x)-(mx+b)]=0}$.

Los valores de m y de b se calculan con las fórmulas: ${displaystyle m=lim _{x o pm infty }{f(x) over x}}$; ${displaystyle b=lim _{x o pm infty }{f(x)-mx}}$.

En la representación gráfica de una función racional juegan un papel esencial, cuando existen, las asíntotas. Si bien es posible aplicar el método por límites descrito anteriormente, en el caso de funciones racionales, suelen utilizarse técnicas algorítmicas que no precisan del análisis matemático.
Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una que sea horizontal u oblicua (es decir que si tiene asíntota horizontal entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).

Para mayor claridad, sea:

Si ${displaystyle m<n,}$, hay una asíntota horizontal de ecuación: y = 0.
Si ${displaystyle m=n,}$, hay una asíntota horizontal de ecuación: y = a_m/b_n (el cociente de los coeficientes principales).
Si ${displaystyle m>n,}$, no hay asíntota horizontal; si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hay una asíntota oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios.

Las asíntotas verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el numerador. Si hay una raíz en común, se compara la multiplicidad de las raíces.
Ejemplos:

Las más variadas funciones evidencian del comportamiento asintótico: desde el simple gráfico de una curva plana en dos dimensiones, hasta superficies tridimensionales más complejas; tanto en funciones algebraicas (polinómicas, racionales) como trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales), ya sea en coordenadas cartesianas, polares, etc.
Las asíntotas actúan como curvas guía para graficar otras curvas, o funciones.

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