Matriz de permutación

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta definición existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutación par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutación impar (con el determinante igual a -1).

Para n = 3 se tiene:

Matrices de permutación par:

Matrices de permutación impar:

Puede notarse que las matrices de permutación conforman un grupo de orden n! respecto al producto.

Dada una permutación ${displaystyle pi }$ de m elementos,

${displaystyle pi :lbrace 1,ldots ,m brace o lbrace 1,ldots ,m brace }$

representada en forma de dos líneas por

${displaystyle {egin{pmatrix}1&2&cdots &m\pi (1)&pi (2)&cdots &pi (m)end{pmatrix}},}$

hay dos maneras naturales de asociar la permutación con una matriz de permutación; a es decir, comenzando con la matriz identidad de m × m, ${displaystyle I_{m}}$, permuta las columnas o permuta las filas, según ${displaystyle pi }$. Ambos métodos para definir las matrices de permutación aparecen en la literatura y las propiedades expresadas en una representación pueden ser fácilmente convertidas a la otra representación. Este artículo tratará principalmente de una sola de estas representaciones y la otra sólo se mencionará cuando haya una diferencia que haya que tener en cuenta.

La matriz permutación de m × m ${displaystyle P_{pi }}$ = (p_ij) que se obtiene al permutar las columnas de la matriz identidad ${displaystyle I_{m}}$es decir, por cada i, p_ij = 1 si j = ${displaystyle pi }$(i) y 0 en caso contrario, se referirá a la representación de la columna en este artículo. Dado que las entradas en la fila i son todas 0 excepto que un 1 aparece en la columna ${displaystyle pi }$(i), podemos escribir

${displaystyle P_{pi }={egin{bmatrix}mathbf {e} _{pi (1)}\mathbf {e} _{pi (2)}\vdots \mathbf {e} _{pi (m)}end{bmatrix}},}$

donde ${displaystyle mathbf {e} _{j}}$, un vector de base estándar, denota un vector de longitud m con un 1 en la posición j y 0 en cualquier otra posición.

Por ejemplo, la matriz permutación ${displaystyle P_{pi }}$correspondiente a la permutación: ${displaystyle pi ={egin{pmatrix}1&2&3&4&5\1&4&2&5&3end{pmatrix}},}$es

${displaystyle P_{pi }={egin{bmatrix}mathbf {e} _{pi (1)}\mathbf {e} _{pi (2)}\mathbf {e} _{pi (3)}\mathbf {e} _{pi (4)}\mathbf {e} _{pi (5)}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{5}\mathbf {e} _{3}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}1&0&0&0&0\0&0&0&1&0\0&1&0&0&0\0&0&0&0&1\0&0&1&0&0end{bmatrix}}.}$

Observemos que la columna j de la matriz identidad ${displaystyle I_{5}}$ahora aparece como la columna${displaystyle pi (j)}$de ${displaystyle P_{pi }}$

La otra representación, obtenida por permutar las filas de la matriz identidad ${displaystyle I_{m}}$, es decir, por cada j, p_ij = 1 si i =${displaystyle pi (j)}$y 0 en caso contrario, se denominará representación de la fila.

La representación de las columnas de una matriz permutación se utiliza a lo largo de esta sección, salvo que se indique lo contrario.

Multiplicando ${displaystyle P_{pi }}$veces un vector columna g permutará las filas del vector:

${displaystyle P_{pi }mathbf {g} ={egin{bmatrix}mathbf {e} _{pi (1)}\mathbf {e} _{pi (2)}\vdots \mathbf {e} _{pi (n)}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}g_{1}\g_{2}\vdots \g_{n}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}g_{pi (1)}\g_{pi (2)}\vdots \g_{pi (n)}end{bmatrix}}.}$

El uso repetido de este resultado muestra que si ${displaystyle M}$es una matriz de tamaño apropiado, el producto, ${displaystyle P_{pi }}$${displaystyle M}$es sólo una permutación de las filas de ${displaystyle M}$. Sin embargo, observando que

${displaystyle P_{pi }mathbf {e} _{k}^{mathsf {T}}=mathbf {e} _{pi ^{-1}(k)}^{mathsf {T}}}$

para cada ${displaystyle k}$ se muestra que la permutación de las filas viene dada por ${displaystyle pi ^{-1}}$. (${displaystyle M^{T}}$es la transpuesta de ${displaystyle M}$).

Como las matrices de permutación son matrices ortogonales (es decir, ${displaystyle P_{pi }P_{pi }^{mathsf {T}}=I}$), existe la matriz inversa y se puede escribir como

${displaystyle P_{pi }^{-1}=P_{pi ^{-1}}=P_{pi }^{mathsf {T}}.}$

Multiplicar un vector fila h veces ${displaystyle P_{pi }}$ permutará las columnas del vector:

${displaystyle mathbf {h} P_{pi }={egin{bmatrix}h_{1};h_{2};dots ;h_{n}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}mathbf {e} _{pi (1)}\mathbf {e} _{pi (2)}\vdots \mathbf {e} _{pi (n)}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}h_{pi ^{-1}(1)};h_{pi ^{-1}(2)};dots ;h_{pi ^{-1}(n)}end{bmatrix}}}$

Una vez más, la aplicación repetida de este resultado muestra que la post-multiplicación de una matriz ${displaystyle M}$por la matriz permutación ${displaystyle P_{pi }}$o sea, ${displaystyle M}$${displaystyle P_{pi }}$resulta en la permutación de las columnas de ${displaystyle M}$. Nótese también que

${displaystyle mathbf {e} _{k}P_{pi }=mathbf {e} _{pi (k)}.}$

Dadas dos permutaciones ${displaystyle pi }$ y σ de m elementos, las correspondientes matrices de permutación ${displaystyle P_{pi }}$ y${displaystyle P_{ ho }}$ actúan sobre vectores columna y están compuestos por

${displaystyle P_{sigma }P_{pi },mathbf {g} =P_{pi ,circ ,sigma },mathbf {g} .}$

Las mismas matrices que actúan sobre los vectores fila (es decir, post-multiplicación) se componen según la misma regla

${displaystyle mathbf {h} P_{sigma }P_{pi }=mathbf {h} P_{pi ,circ ,sigma }.}$

Para ser claros, las fórmulas anteriores utilizan la notación polaca para la composición de permutación, es decir,

${displaystyle pi ,circ ,sigma (k)=pi left(sigma (k) ight).}$

Dejemos que ${displaystyle Q_{pi }}$sea la matriz permutación correspondiente a ${displaystyle pi }$en su representación en filas. Las propiedades de esta representación se pueden determinar a partir de las de la representación de la columna, ya que ${displaystyle Q_{pi }=P_{pi }^{mathsf {T}}=P_{{pi }^{-1}}.}$ En particular,

${displaystyle Q_{pi }mathbf {e} _{k}^{mathsf {T}}=P_{{pi }^{-1}}mathbf {e} _{k}^{mathsf {T}}=mathbf {e} _{(pi ^{-1})^{-1}(k)}^{mathsf {T}}=mathbf {e} _{pi (k)}^{mathsf {T}}.}$

De ello se deduce que

${displaystyle Q_{sigma }Q_{pi },mathbf {g} =Q_{sigma ,circ ,pi },mathbf {g} .}$

Del mismo modo,

${displaystyle mathbf {h} ,Q_{sigma }Q_{pi }=mathbf {h} ,Q_{sigma ,circ ,pi }.}$

Otras propiedades:

Si (1) denota la permutación identidad, entonces ${displaystyle P_{1}}$es la matriz identidad.

Dejemos que ${displaystyle S_{n}}$denote denote el grupo simétrico, o grupo de permutaciones, en {1,2,...,n}. Puesto que hay n permutaciones, hay n! matrices permutación. Por las fórmulas anteriores, las matrices permutación de n × n forman un grupo bajo la matriz multiplicación con la matriz identidad como elemento neutro.

El mapa S_n → A ⊂ GL(n, Z₂) es una representación fiel. Por lo tanto, |A| = n!

Una matriz permutación es en sí misma una matriz doble estocástica, pero también desempeña un papel especial en la teoría de dichas matrices. El teorema de Birkhoff-von Neumann dice que cada matriz real doble estocástica es una combinación convexa de matrices permutación del mismo orden y que las matrices permutación son precisamente los puntos extremos del conjunto de matrices dobles estocásticas. Es decir, el politopo de Birkhoff, el conjunto de matrices dobles estocásticas, es la envolvente convexa del conjunto de matrices permutación.

La traza de una matriz permutación es el número de puntos fijos de la permutación. Si la permutación tiene puntos fijos, se puede escribir en forma de ciclo como π = (a₁)(a₂)...(a_k)σ donde σ no tiene puntos fijos, Entonces e_a1,e_a2,...,e_ak son vectores propios de la matriz permutación.

Para calcular los vectores propios de una matriz permutación ${displaystyle P_{sigma }}$anotamos ${displaystyle sigma }$como un producto de permutaciónes cíclicas, es decir, ${displaystyle sigma =C_{1}C_{2}cdots C_{t}}$. Dejemos que las longitudes correspondientes de estos ciclos sean ${displaystyle l_{1},l_{2}...l_{t}}$, y dejemos que ${displaystyle R_{i}(1leq ileq t)}$sea el conjunto de soluciones complejas de ${displaystyle x^{l_{i}}=1}$. La unión de todos los ${displaystyle R_{i}}$forman el conjunto de autovalores de la matriz permutación correspondiente. La multiplicidad geométrica de cada autovalor es igual al número de ${displaystyle R_{i}}$que lo contengan.

De la teoría de grupos sabemos que cualquier permutción puede ser expresada como producto de transposiciones. Por lo tanto, cualquier matriz permutación ${displaystyle P}$los factores como producto de un intercambio de matrices elementales, cada una de las cuales tiene como determinante -1. Por lo tanto, el determinante de una matriz permutación ${displaystyle P}$es sólo la paridad de la permutación correspondiente.

Cuando una matriz permutación P es multiplicada por la izquierda por una matriz M para generar PM permutará las filas de M (aquí los elementos de un vector columna),

cuando P es multiplicada por la derecha por M para generar MP permutará las columnas de M (aquí los elementos de un vector fila):

Las permutaciones de filas y columnas son por ejemplo reflexiones (ver más abajo) y permutaciones cícicas (ver matriz circulante).

La matriz permutación P_π corresponde a la permutación: ${displaystyle pi ={egin{pmatrix}1&2&3&4&5\1&4&2&5&3end{pmatrix}},}$ hay

${displaystyle P_{pi }={egin{bmatrix}mathbf {e} _{pi (1)}\mathbf {e} _{pi (2)}\mathbf {e} _{pi (3)}\mathbf {e} _{pi (4)}\mathbf {e} _{pi (5)}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{5}\mathbf {e} _{3}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}1&0&0&0&0\0&0&0&1&0\0&1&0&0&0\0&0&0&0&1\0&0&1&0&0end{bmatrix}}.}$

Dado un vector g,

${displaystyle P_{pi }mathbf {g} ={egin{bmatrix}mathbf {e} _{pi (1)}\mathbf {e} _{pi (2)}\mathbf {e} _{pi (3)}\mathbf {e} _{pi (4)}\mathbf {e} _{pi (5)}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}g_{1}\g_{2}\g_{3}\g_{4}\g_{5}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}g_{1}\g_{4}\g_{2}\g_{5}\g_{3}end{bmatrix}}.}$

Una matriz permutación siempre será de la forma

${displaystyle {egin{bmatrix}mathbf {e} _{a_{1}}\mathbf {e} _{a_{2}}\vdots \mathbf {e} _{a_{j}}\end{bmatrix}}}$

donde e_ai representa el i vector base (como fila) para R^j, y donde
${displaystyle {egin{bmatrix}1&2&ldots &j\a_{1}&a_{2}&ldots &a_{j}end{bmatrix}}}$

es la forma permutación de la matriz permutación.

Ahora, al realizar la matriz multiplicación, uno forma esencialmente el producto escalar de cada fila de la primera matriz con cada columna de la segunda. En este caso, estaremos formando el producto escalar de cada fila de esta matriz con el vector de elementos que queremos permutar. Es decir, por ejemplo, v= (g₀,...,g₅)^T,

e_ai·v=g_ai

Así, el producto de la matriz permutación con el vector v anterior, será un vector en la forma (g_a1, g_a2, ..., g_aj) , y ésta es pues una permutación de v ya que hemos dicho que la forma de permutación es

${displaystyle {egin{pmatrix}1&2&ldots &j\a_{1}&a_{2}&ldots &a_{j}end{pmatrix}}.}$

Por lo tanto, las matrices permutación sí permuta el orden de los elementos en vectores multiplicados por ellos.

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