Octógono

Un octógono u octágono^{[nota 1]}​ es una figura plana con ocho lados y ocho vértices.

Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ${displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${displaystyle n=8}$, se tiene:

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados o ${displaystyle 6pi }$ radianes.

Un octógono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135º o ${displaystyle 3pi /4}$ rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45º o ${displaystyle pi /4}$ rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).

${displaystyle P=ncdot t=8 t}$

pero si solo se conoce la longitud de la apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:

${displaystyle P=16a({sqrt {2}}-1)}$

La apotema en función del lado del polígono, ${displaystyle t}$, es^[1]​

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

${displaystyle A={frac {8t^{2}}{4 an({frac {pi }{8}})}}simeq 4.8284 t^{2},}$

donde ${displaystyle pi }$ es la constante pi y ${displaystyle an }$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

${displaystyle A={frac {Pcdot a}{2}}={frac {8tcdot a}{2}}=4cdot tcdot a}$

Si solo se conoce el lado t, se puede calcular el área con la siguiente fórmula:

${displaystyle A=2t^{2}(1+{sqrt {2}})}$

O bien, si solo se conoce la apotema a,^[1]​

El símbolo de Schläfli del octógono regular es {8}.^[2]​

Un octágono irregular es una figura plana de 8 lados con longitudes y ángulos desiguales. Esto significa que hay una enorme variación posible de combinación de longitudes y ángulos, el número de octógonos irregulares posibles es virtualmente infinito. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:

${displaystyle A={frac {L_{1}cdot h_{1}}{2}}}$

Se utiliza la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

Se suman las ocho áreas y se obtiene el área del octágono irregular: El octágono irregular tiene algunos o todos sus ángulos interiores desiguales. La fórmula de su perímetro es la suma de la longitud de sus ocho lados:

${displaystyle P=L_{1}+L_{2}+ldots +L_{8}}$

donde L₁, L₂, ..., L₈ son los lados del octágono.

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