Símbolo de Schläfli

En geometría, el símbolo de Schläfli es una notación simple de la forma ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,,...,,w},}$ que proporciona un sumario de algunas propiedades importantes de un politopo regular o de una teselación (teselado o embaldosado) regular. Debe su nombre al matemático suizo Ludwig Schläfli, quien hizo importantes contribuciones a la geometría y a otras áreas de la matemática.

El símbolo de Schläfli es una descripción recursiva. Comenzando con un polígono regular de ${displaystyle scriptstyle p,}$ lados con el símbolo ${displaystyle scriptstyle {p},}$. Por ejemplo, ${displaystyle scriptstyle {3}}$ es el triángulo equilátero, ${displaystyle scriptstyle {4}}$ es el cuadrado, ${displaystyle scriptstyle {5}}$ es el pentágono regular, etc.

Un poliedro regular, el cual tiene caras regulares de ${displaystyle scriptstyle p,}$ lados, ${displaystyle scriptstyle q,}$ en torno de cada vértice, se representa por ${displaystyle scriptstyle {p,,q}}$. Por ejemplo, el cubo tiene ${displaystyle scriptstyle 6}$ cuadrados ${displaystyle scriptstyle {4}}$, ${displaystyle scriptstyle 3}$ en torno de cada vértice y se representa por ${displaystyle scriptstyle {4,,3}}$.

Un ${displaystyle scriptstyle 4}$–politopo (de cuatro dimensiones) con celdas poliédricas ${displaystyle scriptstyle {p,,q}}$, ${displaystyle scriptstyle r}$ en torno de cada vértice se representa por ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r}}$. El hipercubo de cuatro dimensiones, por ej. es ${displaystyle scriptstyle {4,,3,,3}}$.

En general, un politopo ${displaystyle scriptstyle n}$–dimensional está formado de facetas ${displaystyle scriptstyle n}$–dimensionales, ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,...,,v}}$, ${displaystyle scriptstyle w}$ en torno de cada vértice, de esta manera su símbolo es ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,...,,v,,w}}$.

Para ciertos fines, el símbolo de un segmento de recta unitario es ${displaystyle scriptstyle {,}}$.

Los politopos regulares pueden tener elementos que sean polígonos estrellados (estelados), cuyo símbolo es ${displaystyle scriptstyle left{{ frac {p}{s}} ight}}$. La fracción ${displaystyle scriptstyle { frac {p}{s}}}$ debe ser irreductible, esto es, ${displaystyle scriptstyle p}$ y ${displaystyle scriptstyle q}$ deben ser primos relativos. Así, por ej. ${displaystyle scriptstyle left{{ frac {8}{3}} ight}}$ representa una estrella de ${displaystyle scriptstyle 8}$ vértices, tomados de ${displaystyle scriptstyle 3}$ en ${displaystyle scriptstyle 3}$. Otro ej. es el gran dodecaedro estrellado ${displaystyle scriptstyle left{{ frac {5}{2}},,3 ight}}$ está formado por ${displaystyle scriptstyle 12}$ pentagramas ${displaystyle scriptstyle left{{ frac {5}{2}} ight}}$, ${displaystyle scriptstyle 3}$ en torno de cada vértice.

Un politopo regular tiene un politopo dual, representado por los elementos de símbolo de Schläfli en orden inverso. Un politopo regular auto dual tendrá un símbolo de Schläfli simétrico.

La faceta de un politopo regular ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,,...,,v,,w}}$ es ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,,...,,v}}$.

Cada politopo regular ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,,...,,w}}$ tiene una figura de vértice regular ${displaystyle scriptstyle {q,,r,,...,,w}}$. Comúnmente, se supone que la figura de vértice es un politopo finito, pero en ocasiones puede considerarse como un teselado mismo.

Un símbolo de Schläfli puede representar a un poliedro convexo finito, un teselado infinito en el espacio euclidiano o un teselado infinito en el espacio hiperbólico, dependiendo del defecto (angular) de la construcción. Un defecto positivo permite que la figura de vértice se doble a otra dimensión forma un lazo hasta encontrarse consigo mismo para formar un politopo. Un defecto igual a cero llenará el espacio de la misma dimensión que las facetas. Un defecto negativo no puede existir en el espacio ordinario, pero puede construirse en el espacio hiperbólico.

Un símbolo de Schläfli ${displaystyle scriptstyle {p,,q,,r,,...,,w}}$ está estrechamente relacionado con los grupos de simetría de reflexión, también llamados grupos de Coxeter, formado con los mismos índices, pero en lugar de llaves, corchetes: ${displaystyle scriptstyle [,p,,q,,r,,...,,w,]}$. A menudo se llaman tales grupos como los politopos regulares que generan. Por ej. ${displaystyle scriptstyle [3,,4]}$ es el grupo de Coxeter para la simetría octaédrica (O_h).

Se define como sigue. El símbolo de Schläfli de un polígono de n lados es {n}, por ejemplo, el pentágono se expresa {5}. Las teselaciones de los polígonos se pueden expresar como números quebrados, por ejemplo, el pentagrama se expresa {5/2}

El de un poliedro es {p,q}, si las caras son p-gonos y cada vértice está rodeado por q caras. Nótese que el símbolo de Schläfli no está bien definido para poliedros que no son suficientemente regulares (como el prisma).

Los símbolos de Schläfli para los sólidos platónicos son:

Es interesante notar cómo los últimos cuatro sólidos tienen sus símbolos invertidos entre sí (el cubo con el octaedro y el dodecaedro con el icosaedro), mientras que el tetraedro lo tiene invertido con respecto a sí mismo.

Los símbolos de Schläfli pueden definirse también para teselaciones regulares del espacio euclidiano o hiperbólico de modo similar. Por ejemplo, una teselación hexagonal se puede expresar {6,3}.

Ocasionalmente, el símbolo de Schläfli se define con fracciones. Por ejemplo, hay varias instancias de ⁵/₂ en la lista de politopos regulares. El símbolo {^p/_q} significa una figura en el plano con p vértices donde cada q-ésimo vértice está conectado. Por lo tanto, ⁵/₂ es una forma de estrella de cinco puntas (pentagrama).

El símbolo de Schläfli de los cuatro sólidos de Kepler-Poinsot (poliedros regulares cóncavos) es:

Para politopos con un número de dimensiones mayor, el símbolo de Schläfli se define recursivamente como {p₁,p₂,...,p_n-1} si las facetas tienen símbolo de Schläfli {p₁,p₂,...,p_n-2} y las figuras de vértice tienen símbolo de Schläfli {p₂,p₃,...,p_n-1}.

El símbolo de Schläfli de un segmento de línea es {}. Si un politopo tiene símbolo de Schläfli {p₁,p₂,...,p_n-1} entonces su politopo dual tiene símbolo de Schläfli {p_n-1,...,p₂,p₁}.

Este símbolo toma su nombre del matemático suizo del siglo XIX Ludwig Schläfli (1814-1895), quien hizo contribuciones fundamentales a la geometría multidimensional.

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