Rotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

${displaystyle mathbf {U} cdot {mbox{rot}} mathbf {F} =mathbf {U} cdot abla imes mathbf {F} equiv lim _{Delta S o 0}{frac {1}{Delta S}}oint _{C}mathbf {F} cdot { ext{d}}mathbf {r} }$

Aquí, ${displaystyle Delta S}$ es el área de la superficie apoyada en la curva ${displaystyle C}$, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ${displaystyle Delta S}$ y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

El concepto fue por primera vez usado por el matemático irlandés James MacCullagh en 1839^[1]​^[2]​ si bien no recibió su nombre y terminología modernas hasta el trabajo de compilación de teoría de campos de James Clerk Maxwell en 1871.^[3]​

Al campo vectorial, ${displaystyle scriptstyle mathbf {J} }$, que se obtiene calculando el rotacional de un campo ${displaystyle scriptstyle mathbf {F} }$ en cada punto,

${displaystyle mathbf {J} = abla imes mathbf {F} }$

se conoce como las fuentes vectoriales de ${displaystyle mathbf {F} }$ (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

${displaystyle abla imes mathbf {f} =0 {mbox{en}} Omega {mbox{simplemente conexo}} Rightarrow mathbf {f} = abla phi }$

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

${displaystyle abla imes mathbf {F} =left({frac {partial F_{z}}{partial y}}-{frac {partial F_{y}}{partial z}} ight){hat {x}}+left({frac {partial F_{x}}{partial z}}-{frac {partial F_{z}}{partial x}} ight){hat {y}}+left({frac {partial F_{y}}{partial x}}-{frac {partial F_{x}}{partial y}} ight){hat {z}}}$

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

${displaystyle abla imes mathbf {F} =left|{egin{matrix}{hat {x}}&{hat {y}}&{hat {z}}\&&\{cfrac {partial }{partial x}}&{cfrac {partial }{partial y}}&{cfrac {partial }{partial z}}\&&\F_{x}&F_{y}&F_{z}end{matrix}} ight|}$

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además, dicho determinante solo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

${displaystyle ( abla imes mathbf {F} )_{k}=epsilon _{klm}partial _{l}F_{m}}$

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

${displaystyle abla imes mathbf {F} ={frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}left|{egin{matrix}h_{1}{hat {q}}_{1}&h_{2}{hat {q}}_{2}&h_{3}{hat {q}}_{3}\&&\{frac {partial }{partial q_{1}}}&{frac {partial }{partial q_{2}}}&{frac {partial }{partial q_{3}}}\&&\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}end{matrix}} ight|}$

(donde, en cartesianas, ${displaystyle h_{x}=h_{y}=h_{z}=1}$ y reobtenemos la expresión anterior. En coordenadas cilíndricas ${displaystyle h_{ ho }=h_{z}=1, h_{varphi }= ho }$ y en coordenadas esféricas ${displaystyle h_{r}=1, h_{ heta }=r, h_{varphi }=r{ m {sen}} heta }$).

Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:

${displaystyle { ext{d}}F,}$

Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como ${displaystyle P,(dxwedge dy)+Q,(dywedge dz)+R,(dxwedge dz)}$. Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

En general, en las coordenadas curvilíneas, (no solo en coordenadas cartesianas), el rotacional de un producto de vectores de campo v y F puede expresarse:

Intercambiando el vector de campo v y el operador ∇, llegamos al producto vectorial de un vector de campo con el rotacional de otro:

usando la notación de Feynman, ∇_F, que opera solo con el vector de campo F.

Otra identidad es el rotacional del rotacional de un vector de campo. Puede ser expresado de la siguiente forma, en coordenadas cartesianas:

en esta identidad el Operador laplaciano de F se representa como ∇²F.

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar φ es siempre nulo

Si φ es una función escalar y F es un vector de campo, entonces:

Sea el campo vectorial:

${displaystyle mathbf {F} (x,y,z)=y{oldsymbol {hat {x}}}-x{oldsymbol {hat {y}}}.}$

que depende linealmente de x y y, que se muestra a continuación:

Mediante inspección visual, se observa que el campo está girando. Si indicáramos la dirección de un fluido y pusiéramos verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, tendería a rotar en el sentido de las agujas del reloj. Utilizando la Regla de la mano derecha el vector rotacional apuntará a la parte negativa del eje zeta (hacia dentro) y no contendrá componentes en el eje x o y.

Calculando el rotacional:

Que está en la parte negativa del eje z, como se esperaba. En este caso, el rotacional es constante, independientemente de su posición. La "cantidad" de rotación es la misma en todo punto del espacio. La siguiente figura muestra el rotacional del campo vectorial en tres dimensiones.

Supongamos otro campo vectorial un poco más complejo:

Su gráfica es:

No se observa con facilidad que este campo sea rotacional, pero investigando un poco se puede observar que, por ejemplo, el campo es mayor en x=4 que en x=3. Al igual que en el caso anterior, si pusiéramos de nuevo una rueda de palas en la zona derecha del gráfico, la «corriente» más fuerte a la derecha haría rotar a la rueda en el sentido de las agujas del reloj, lo cual corresponde a un rotacional en la dirección negativa del eje z. Por contra, en la parte izquierda del gráfico se observa que la corriente más fuerte esta hacia la izquierda por lo que las palas girarían en el sentido contrario a las agujas del reloj y el rotacional, en este caso, apuntaría hacia la parte positiva el eje z. Calculando el rotacional podemos comprobar las suposiciones realizadas.

Efectivamente, el rotacional apunta a la dirección positiva del eje z para x negativa y a la parte negativa del eje z para x positivo. Obsérvese que el rotacional ya no es uniforme en todos los puntos:

Obsérvese que el rotacional solamente depende de la coordenada x.

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