El sistema de numeración decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética el número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9).
Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración.
Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Para números enteros, comenzando de derecha a izquierda, el primer dígito le corresponde el lugar de las unidades, de manera que el dígito se multiplica por 100 (es decir 1) ; el siguiente dígito corresponde a las decenas (se multiplica por 101=10); el siguiente a las centenas (se multiplica por 102=100); el siguiente a las unidades de millar (se multiplica por 103=1000) y así sucesivamente, nombrándose este según su posición siguiendo la escala numérica correspondiente (larga o corta). El valor del número entero es la suma de los dígitos multiplicados por las correspondientes potencias de diez según su posición.
Como ejemplo, el número 17350:
Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria, que queda a la derecha. En este caso, el primer dígito a la derecha del separador decimal corresponde a las décimas (se multiplica por 10-1=0,1); el siguiente a las centésimas (se multiplica por 10-2=0,01); el siguiente a las milésimas (se multiplica por 10-3=0,001) y así sucesivamente, nombrándose estos según su posición, utilizando el partitivo decimal correspondiente.
Como ejemplo, tómese el número 1,0243:
Cualquier número real tiene una representación decimal (posiblemente infinita) combinando las dos representaciones anteriores de potencias positivas y negativas de 10, de manera que puede ser escrito como
donde
Tal suma converge al número real cuanto más y más valores de i negativos sean incluidos, incluso si hay infinitos términos ai distintos de cero.
Para el separador decimal, la Real Academia Española (RAE) aconseja:
En España la coma alta ( ' ) como separador está erradicada, y es considerada una falta de ortografía. Véase en el BOE el Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, por el que se establecen las unidades legales de medida.
Como separador de millares, antiguamente se utilizaba un punto, un subíndice 1 como separador de millones, un subíndice 2 como separador de billones, 3 de trillones, etc. Actualmente esta escritura está erradicada. Debe escribirse agrupándolos cada tres dígitos (exceptuando números de 4 cifras):
Véase en el BOE el Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, por el que se establecen las unidades legales de medida.
En el sistema de numeración posicional de base diez, los números que no son enteros, es decir, los números con parte fraccionaria tienen una representación en forma de número decimal. Sin contar las secuencias recurrentes de la forma 0,999…, la escritura es única y puede ser de dos tipos:
Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en base entera n, e incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la base áurea.
Así, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos que factorizan a 10 (2 y 5), tiene una representación finita. Si contienen factores primos distintos de aquellos que factorizan a 10, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. Si contiene un desarrollo ilimitado no periódico, esta representación corresponde a un número irracional.
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tienen los hombres en las manos que siempre han servido como base para contar.
También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.
El desarrollo de las cifras del uno al nueve, se hizo en la India según las Inscripciones De Nana Ghat en el siglo III a. C. sin sistema de posición de ellas. esto último hace su primera aparición en el 458 en el documento Lokavibhaga, un tratado de cosmología escrito en sánscrito. Aparece el número 14 236 713 y el cero, el vacío donde ocupan la palabra sunya.
Más tarde este sistema lo toman los árabes cambiando el aspecto de las cifras llamadas ghobar en las cifras que usamos hoy 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.
Otras culturas de mesopotamia (Sumeria, Babilonia, ...) utilizaban un sistema posicional sexagesimal.
El sistema decimal es el más común. Por ejemplo, las numeraciones:
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