Suma de vectores

En matemática y física, un vector^[a]​ es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido.^[1]​ Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta ${displaystyle mathbb {R} }$, en el plano ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ (bidimensional), o en el espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ (tridimensional).

En física se define como el segmento de una recta, el cual se encuentra situado en el espacio de un plano ya sea bidimensional o tridimensional.

Un ejemplo de un fenómeno físico que se puede describir con vectores es la velocidad de un automóvil, no sería suficiente describirla con tan solo un número, que es lo que marca el velocímetro, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige). Otro ejemplo es la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir la distancia que recorre, y la dirección del movimiento, o bien la posición inicial y final del objeto.

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Se llama vector de dimensión ${displaystyle n,}$ a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector ${displaystyle scriptstyle v}$ perteneciente a un espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ se representa como:

${displaystyle v=(a_{1},a_{2},a_{3},dots ,a_{n})}$, donde ${displaystyle vin mathbb {R} ^{n}}$

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ o bidimensional ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:^[2]​^[3]​^[4]​

En inglés, la palabra direction indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.^[5]​

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas (y una flecha hacia la derecha encima), por ejemplo ${displaystyle {overrightarrow {AB}}}$, que indican su origen y extremo respectivamente. Es decir, el punto A es el origen o punto de aplicación y el punto B es el extremo del vector ${displaystyle {overrightarrow {AB}}}$, cuyas coordenadas son:

${displaystyle {overrightarrow {AB}}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A}),}$

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector está en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Si consideramos el triángulo formado por los componentes ${displaystyle V_{x},V_{y}}$ (como catetos) y ${displaystyle V}$ (como hipotenusa): se puede calcular ${displaystyle V_{x}}$ multiplicando ${displaystyle V}$ por el cosα (siendo α el ángulo formado por ${displaystyle V_{x}}$ y ${displaystyle V}$) o multiplicando ${displaystyle V}$ por el senβ (siendo β el ángulo formado por ${displaystyle V_{y}}$ y ${displaystyle V}$). De igual forma se puede calcular ${displaystyle V_{y}}$ multiplicando ${displaystyle V}$ por el senα o multiplicando ${displaystyle V}$ por el cosβ (considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente).

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos:

La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.^[6]​ ^[7]​

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.^[2]​^[3]​^[4]​

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma ${displaystyle mathbf {A} ={overrightarrow {MN}},mathbf {B} ={overrightarrow {OP}},}$, ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo ${displaystyle mathbf {hat {u}} ,mathbf {hat {v}} }$.

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse:

Podemos referirnos también a:

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por ${displaystyle mathbf {i} ,}$, ${displaystyle mathbf {j} }$, ${displaystyle mathbf {k} }$, ( o u, v, w) paralelos a los ejes ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, ${displaystyle z}$ correspondientes. Los componentes del vector en una base predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

${displaystyle mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

${displaystyle mathbf {a} =a_{x},mathbf {i} +a_{y},mathbf {j} +a_{z},mathbf {k} }$

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ${displaystyle a_{x}}$, ${displaystyle a_{y}}$, ${displaystyle a_{z}}$, son los componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

${displaystyle mathbf {a} ={egin{bmatrix}a_{x}\a_{y}\a_{z}\end{bmatrix}}qquad mathbf {a} =[a_{x} a_{y} a_{z}]}$

Por ejemplo, los vectores unitarios se expresarían de la siguiente manera:

${displaystyle {mathbf {i} }=[1 0 0], {mathbf {j} }=[0 1 0], {mathbf {k} }=[0 0 1]}$

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unos componentes respecto a dicha base. Dado un vector solo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Hay personas que no recomienda usar gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

La definición producto por un escalar ${displaystyle acdot u}$ produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea ${displaystyle K=mathbb {R} }$ modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que ${displaystyle K=mathbb {C} }$ además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento de fuerza dados dos fuerzas ${displaystyle scriptstyle mathbf {F} _{1},mathbf {F} _{2}}$ con puntos de aplicación ${displaystyle scriptstyle mathrm {P} _{1},mathrm {P} _{2}}$ se definen la fuerza resultante como el par:^{[cita requerida]}

${displaystyle (mathrm {P} _{R},mathbf {F} _{R})=(mathrm {P} _{1},mathbf {F} _{1})oxplus (mathrm {P} _{2},mathbf {F} _{2})}$

Donde ${displaystyle oxplus }$ es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación ${displaystyle scriptstyle mathrm {P} _{R}}$ es el punto de intersección de las rectas de acción de las fuerzas. Los componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

${displaystyle (mathrm {P} _{R},mathbf {F} _{R})=(mathrm {P} _{R},mathbf {F} _{1}+mathbf {F} _{2})}$

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Dados dos vectores libres,

${displaystyle mathbf {a} =(a_{x}mathbf {i} +a_{y}mathbf {j} +a_{z}mathbf {k} )}$

${displaystyle mathbf {b} =(b_{x}mathbf {i} +b_{y}mathbf {j} +b_{z}mathbf {k} )}$

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

${displaystyle mathbf {a} pm mathbf {b} =(a_{x}mathbf {i} +a_{y}mathbf {j} +a_{z}mathbf {k} )pm (b_{x}mathbf {i} +b_{y}mathbf {j} +b_{z}mathbf {k} )}$

y ordenando los componentes,

${displaystyle mathbf {a} pm mathbf {b} =(a_{x}pm b_{x})mathbf {i} +(a_{y}pm b_{y})mathbf {j} +(a_{z}pm b_{z})mathbf {k} }$

Con la notación matricial sería

${displaystyle mathbf {a} pm mathbf {b} ={egin{bmatrix}a_{x}\a_{y}\a_{z}\end{bmatrix}}pm {egin{bmatrix}b_{x}\b_{y}\b_{z}\end{bmatrix}}={egin{bmatrix}a_{x}pm b_{x}\a_{y}pm b_{y}\a_{z}pm bz\end{bmatrix}}}$

Conocidos los módulos de dos vectores dados, ${displaystyle mathbf {a} }$ y ${displaystyle mathbf {b} }$, así como el ángulo ${displaystyle heta }$ que forman entre sí, el módulo de ${displaystyle mathbf {a} pm mathbf {b} }$ es:

${displaystyle |mathbf {a} pm mathbf {b} |={sqrt {a^{2}+b^{2}pm 2abcos heta }}leq {sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos heta }}}$

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean ${displaystyle p,}$ un escalar y ${displaystyle mathbf {a} }$ un vector, el producto de ${displaystyle p,}$ por ${displaystyle mathbf {a} }$ se representa ${displaystyle p,mathbf {a} }$ y se realiza multiplicando cada una de los componentes del vector por el escalar; esto es,

${displaystyle p,mathbf {a} =pa_{x}mathbf {i} +pa_{y}mathbf {j} +pa_{z}mathbf {k} }$

Con la notación matricial sería

${displaystyle p,mathbf {a} =p,{egin{bmatrix}a_{x}\a_{y}\a_{z}\end{bmatrix}}={egin{bmatrix}p,a_{x}\p,a_{y}\p,a_{z}\end{bmatrix}}}$

Dado un vector que es función de una variable independiente

${displaystyle mathbf {a} (t)=a_{x}(t)mathbf {i} +a_{y}(t)mathbf {j} +a_{z}(t)mathbf {k} }$

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

${displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {a} (t)={frac {d}{dt}}a_{x}(t)mathbf {i} +{frac {d}{dt}}a_{y}(t)mathbf {j} +{frac {d}{dt}}a_{z}(t)mathbf {k} }$

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

${displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {a} (t)={frac {d}{dt}},{egin{bmatrix}a_{x}\a_{y}\a_{z}\end{bmatrix}}={egin{bmatrix}{frac {d}{dt}}a_{x}\{frac {d}{dt}}a_{y}\{frac {d}{dt}}a_{z}\end{bmatrix}}}$

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

${displaystyle mathbf {r} (t)=sin(t)mathbf {i} +cos(t)mathbf {j} +5tmathbf {k} }$

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función ${displaystyle mathbf {r} (t),}$ representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

${displaystyle {frac {dmathbf {r} (t)}{dt}}={frac {d}{dt}}sin(t)mathbf {i} +{frac {d}{dt}}cos(t)mathbf {j} +{frac {d}{dt}}5tmathbf {k} }$

Realizando la derivada:

${displaystyle {frac {dmathbf {r} (t)}{dt}}=cos(t)mathbf {i} -sin(t)mathbf {j} +5mathbf {k} }$

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

${displaystyle mathbf {v} (t)=cos(t)mathbf {i} -sin(t)mathbf {j} +5mathbf {k} }$

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares.^[5]​ Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no solo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:

${displaystyle {frac {delta }{delta t}}mathbf {a} (t)=sum _{k}left({dot {a}}^{k}mathbf {e} _{k}+a^{k}{dot {mathbf {e} }}_{k} ight)={frac {d}{dt}}mathbf {a} (t)+mathbf {a} (t) imes {oldsymbol {omega }}(t)}$

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen ${displaystyle {oldsymbol {omega }}}$ y otros factores menos comunes.

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores ${displaystyle mathbf {a} }$ y ${displaystyle mathbf {b} }$ viene dado por:

${displaystyle cos heta ={frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{|mathbf {a} |,|mathbf {b} |}}}$

Dado un vector ${displaystyle mathbf {a} }$ y una dirección de referencia dada por un vector unitario ${displaystyle mathbf {n} }$ se puede descomponer el primer vector en un componente paralela y otro componente perpendicular a la dirección de referencia:

${displaystyle mathbf {a} =mathbf {a} _{|}+mathbf {a} _{ot }=(mathbf {n} cdot mathbf {a} )mathbf {n} +(mathbf {n} imes mathbf {a} ) imes mathbf {n} }$

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en un componente paralela a la velocidad y otro componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en un componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {x} )}$ definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado integrable ${displaystyle mathbf {u} in (L^{2}(Omega ))^{3}}$ admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

${displaystyle mathbf {u} =mathbf {u} _{C}+mathbf {u} _{S}=({oldsymbol { abla }}varphi )+({oldsymbol { abla }} imes mathbf {A} )}$

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interno. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector ${displaystyle scriptstyle mathbf {A} }$ expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial ${displaystyle {mathcal {B}}}$ asociada definida por los versores ${displaystyle left(mathbf {i} ,mathbf {j} ,mathbf {k} , ight)}$; esto es,

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}A_{x}\A_{y}\A_{z}end{bmatrix}}_{mathcal {B}}}$

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial ${displaystyle {mathcal {B}}'}$ asociada definida por los versores ${displaystyle left(mathbf {i} ',mathbf {j} ',mathbf {k} ', ight)}$. Los componentes del vector ${displaystyle mathbf {A} ,}$ en esta nueva base vectorial serán:

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}A'_{x}\A'_{y}\A'_{z}end{bmatrix}}_{{mathcal {B}}'}}$

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

${displaystyle mathbb {R} ,mathbf {A} _{mathcal {B}}=mathbf {A} _{{mathcal {B}}'}}$

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

En el caso simple en el que el giro tenga magnitud ${displaystyle heta ,}$ alrededor del eje z, tendremos la transformación:

${displaystyle mathbb {R} ={egin{bmatrix}cos heta &sin heta &0\-sin heta &cos heta &0\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector ${displaystyle mathbf {A} ,}$ en la nueva base vectorial:

${displaystyle {egin{bmatrix}cos heta &sin heta &0\-sin heta &cos heta &0\0&0&1\end{bmatrix}}{egin{bmatrix}A_{x}\A_{y}\A_{z}end{bmatrix}}_{mathcal {B}}={egin{bmatrix}A'_{x}\A'_{y}\A'_{z}end{bmatrix}}_{{mathcal {B}}'}}$

siendo

los componentes del vector en la nueva base vectorial.

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de los componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, solo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así los componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores ${displaystyle O,}$ y ${displaystyle {ar {O}}}$ deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde ${displaystyle Lambda _{alpha }^{eta }}$ son los componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

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