En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de o de sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.[cita requerida]
El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Si un conjunto tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:
Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.
La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real. Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba. Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904. Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación estaba restringida a conjuntos contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.
Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos
Sea un conjunto cerrado y un conjunto compacto tales que .
Sea una cubierta abierta de , entonces es una cubierta abierta de (podemos agregar ya que es abierto). Como es compacto entonces tiene un refinamiento finito que también cubre a . Podemos quitar a y sigue cubriendo a . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de
Si , donde es un conjunto infinito y es compacto, entonces tiene un punto de acumulación en
Si no tuviera puntos de acumulación en entonces tal que no contiene puntos de donde es una epsilon-vecindad y . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta para pero no tiene un refinamiento finito, esto también es cierto para , que contradiría la definición de que es compacto.
Toda k-celda es compacta
Sea una k-celda que consiste de todos los puntos x tal que y . Sea entonces si . Sea una cubierta arbitraria de y supongamos que no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.
Tomemos entonces los intervalos determinan celdas . Entonces por lo menos un no se puede cubrir con una cantidad finita de 's. Lo llamaremos y así obtenemos una sucesión tal que:
Digamos que , como cubre a entonces . Como es abierto . Si tomamos n suficientemente grande tal que tenemos que este lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.
Si cumple 1) entonces para alguna k-celda , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.
Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.
Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si no es acotado, entonces contiene un conjunto {} tal que entonces el subconjunto {} es infinito pero no tiene puntos de acumulación en , lo cual contradice 3). Si no es cerrado, entonces existe un elemento que es un punto de acumulación de pero no está en . Para existen tales que , entonces el conjunto {} es un subconjunto infinito de cuyo único punto de acumulación es el , que no pertenece a , lo que contradice 3).
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