Teorema de Heine-Cantor

En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si f : M → N es una función continua entre dos espacios métricos y M es compacto, entonces f es uniformemente continua.

La continuidad uniforme de una función se expresa como:

donde d_M, d_N son las funciones distancia en los espacios métricos M y N, respectivamente. Si ahora asumimos que f es continua en el espacio métrico compacto M pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de f queda así:

Eligiendo ε₀, para todo δ positivo tenemos un par de puntos x e y en M con las propiedades arriba descritas. Si elegimos δ = 1/n para n = 1, 2, 3, ... obtenemos dos sucesiones {x_n}, {y_n} tales que

Como M es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (${displaystyle x_{n_{k}}}$ a x₀ y ${displaystyle y_{n_{k}}}$ a y₀). Se sigue que

Pero como f es continua y ${displaystyle x_{n_{k}}}$ e ${displaystyle y_{n_{k}}}$ convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que f no es uniformemente continua es absurda: entonces f debe ser uniformemente continua como afirma el teorema.

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