Teorema de Bolzano-Weierstrass

En el análisis real, el teorema de Bolzano–Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos compactos secuencialmente.

En el análisis real, el teorema de Bolzano-Weierstrass es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo dimensionalmente finito Rⁿ. El teorema establece que cada sucesión acotada en Rⁿ tiene una subsucesión convergente. Una formulación equivalente es que un subconjunto de Rⁿ es secuencialmente compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

En primer lugar, aplicando el método de inducción matemática, demostraremos el teorema cuando n = 1, en cuyo caso el orden de R se puede poner a buen uso. De hecho tenemos el siguiente resultado.

Lema: Cada sucesión { x_n } en R tiene una subsucesión monótona.

Demostración: Vamos a llamar a un número entero positivo n un "pico de la secuencia", si m> n implica x_n > x_m  es decir, si x_n es mayor que todos los términos siguientes de la sucesión. Supongamos primero que la sucesión tiene picos infinitos, n₁ < n₂ < n₃ < … < n_j < … Entonces la subsucesión correspondiente   ${displaystyle {x_{n_{j}}}}$  a los picos es monótonamente decreciente, con lo que el lema queda probado. Así que supongamos ahora que sólo hay un número finito de picos, sea N el último pico y n₁ = N + 1. Luego n₁ no es un pico, ya que n₁ > N, lo que implica la existencia de un n₂ > n₁ con  ${displaystyle x_{n_{2}}geq x_{n_{1}}.}$  Una vez más, n₂ > N no es un pico, por lo tanto hay n₃ > n₂ con ${displaystyle x_{n_{3}}geq x_{n_{2}}.}$  Repitir este proceso conduce a una subsucesión infinita no decreciente   ${displaystyle x_{n_{1}}leq x_{n_{2}}leq x_{n_{3}}leq ldots }$, si lo desea.

Ahora supongamos que tenemos una sucesión acotada en R, por el Lema existe una subsucesión monótona, necesariamente acotada. Pero se sigue del teorema de convergencia monótona que esta subsucesión deben converger, y la prueba es completa. Por último, el caso general puede ser fácilmente reducida al caso de n = 1 como sigue: dada una secuencia limitada en Rⁿ, la secuencia de las primeras coordenadas es una secuencia real limitado, por lo tanto tiene una subsucesión convergente. A continuación, puede extraer un subsubsucesión en el que convergen las segundas coordenadas, y así sucesivamente, hasta que al final hemos pasado de la secuencia original a subsecuencia n veces - que sigue siendo una subsecuencia de la secuencia original - en la que cada coordenada converge secuencia , por lo tanto, la propia subsucesión es convergente.

Supongamos que A es un subconjunto de Rⁿ con la propiedad de que toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente a un elemento de A. Entonces, A debe ser limitada, pues de lo contrario existe una secuencia en la x_m en A con || x_m || ≥ m para todos los m, y luego cada subsecuencia es ilimitada y por tanto no convergentes. Por otra parte A debe ser cerrado, ya que desde un punto de no interior x en el complemento de A se puede construir una secuencia A con valores de convergencia a x. Así, los subconjuntos A, de Rⁿ, para que cada secuencia en la A tiene una subsucesión convergente a un elemento de A –  es decir, los subconjuntos que están secuencialmente compacto en la topología de subespacio –  son precisamente los conjuntos cerrados y limitados. Esta forma del teorema hace especialmente clara la analogía con el Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconjunto de Rⁿ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. De hecho, la topología general nos dice que un espacio es compacto metrizable si y solo si es secuencialmente compacto, de modo que la de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel son esencialmente los mismos.

El teorema de Bolzano-Weierstrass lleva el nombre de matemáticos Bernard Bolzano y Karl Weierstrass. En realidad, fue demostrado por primera vez por Bolzano en 1817 como un lema en la demostración del teorema de valor intermedio. Unos cincuenta años más tarde, el resultado fue identificado como significativo por derecho propio, y demostrado una vez más por Weierstrass. Desde entonces se ha convertido en un teorema fundamental del análisis.

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