Variancia

En teoría de probabilidad, la varianza o variancia (que suele representarse como ${displaystyle sigma ^{2}}$) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Su unidad de medida corresponde al cuadrado de la unidad de medida de la variable: por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La varianza tiene como valor mínimo 0. La desviación estándar (raíz cuadrada positiva de la varianza) es una medida de dispersión alternativa, expresada en las mismas unidades que los datos de la variable objeto de estudio.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.

El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo publicado en enero de 1919 con el título The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.^[1]​

A continuación se hará un repaso de las fórmulas, hay que tener en cuenta que la fórmula de la varianza para una población (σ²) difiere de la fórmula de la varianza para una muestra (s²).

Sea ${displaystyle X}$ una variable aleatoria con media ${displaystyle mu =operatorname {E} (X)}$, se define la varianza de la variable aleatoria ${displaystyle X}$, denotada por ${displaystyle operatorname {Var} (X)}$, ${displaystyle sigma _{X}^{2}}$ o simplemente ${displaystyle sigma ^{2}}$ como

Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):

Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice ${displaystyle k}$ satisface ${displaystyle 1<kleq 2}$.

Si la variable aleatoria ${displaystyle X}$ es continua con función de densidad ${displaystyle f(x)}$ entonces

donde

y las integrales están definidas sobre el soporte de la variable aleatoria ${displaystyle X}$, es decir, ${displaystyle R_{X}}$.

Si la variable aleatoria ${displaystyle X}$ es discreta con función de probabilidad ${displaystyle operatorname {P} [X=x]}$ entonces

donde

Sean ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ dos variables aleatorias con varianza finita y ${displaystyle ain mathbb {R} }$

Si una variable aleatoria continua ${displaystyle X}$ tiene una distribución exponencial con parámetro ${displaystyle lambda }$ entonces su función de densidad está dada por

para ${displaystyle xgeq 0}$.

No es difícil ver que la media de ${displaystyle X}$ es ${displaystyle operatorname {E} [X]=1/lambda }$, por lo que para hallar su varianza calculamos

Después de integrar se puede concluir que

Un dado de seis caras puede representarse como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 con probabilidad igual a ¹/₆. El valor esperado es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Por lo tanto, su varianza es:

En muchas situaciones es preciso estimar la varianza poblacional a partir de una muestra. Si se toma una muestra con reemplazo ${displaystyle (x_{1},x_{2}dots ,x_{n})}$ de ${displaystyle n}$ valores de ella, de entre todos los estimadores posibles de la varianza de la población de partida, existen dos de uso corriente

El primero de ellos

que puede ser escrito como

pues

y el segundo de ellos es

que puede ser escrito como

pues

A ambos se los denomina varianza muestral, difieren ligeramente y, para valores grandes de ${displaystyle n}$, la diferencia es irrelevante. El primero traslada directamente la varianza de la muestra al de la población y el segundo es un estimador insesgado de la varianza poblacional pues

mientras que

Como consecuencia de la igualdad ${displaystyle operatorname {E} (s^{2})=sigma ^{2}}$, ${displaystyle s^{2}}$ es un estadístico insesgado de ${displaystyle sigma ^{2}}$. Además, si se cumplen las condiciones necesarias para la ley de los grandes números, s² es un estimador consistente de ${displaystyle sigma ^{2}}$.

Más aún, cuando las muestras siguen una distribución normal, por el teorema de Cochran, ${displaystyle s^{2}}$ tiene la distribución chi-cuadrado:

Dejamos tres fórmulas equivalentes para el cálculo de la varianza muestral ${displaystyle s_{n}}$

Esta última igualdad tiene interés para interpretar los estimadores ${displaystyle s^{2}}$ y ${displaystyle s_{n}^{2}}$, pues si se quiere evaluar la desviación de unos datos o sus diferencias, se puede optar por calcular el promedio de los cuadrados de las diferencias de cada par de datos:

O se puede considerar el promedio de los cuadrados de las diferencias de cada par de datos sin tener en cuenta cada dato consigo mismo, ahora el número de sumandos es ${displaystyle nleft(n-1 ight)}$.