Coordenadas

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema de referencia que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico.^[1]​ El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es el objeto de la geometría analítica, que permite formular problemas geométricos de forma "numérica".^[2]​

En geometría, las coordenadas son cantidades que determinan la posición de un punto en un plano o en el espacio. En un plano, la posición de un punto suele estar determinada por las distancias a dos líneas rectas (ejes de coordenadas) que se cruzan en un punto (origen) en ángulo recto; una de las coordenadas se llama ordenada y la otra abscisa. En el espacio según el sistema de Descartes, la posición de un punto está determinada por las distancias a tres planos de coordenadas que se cruzan en un punto en ángulo recto entre sí, aunque también se usan otros sistemas como por ejemplo las coordenadas esféricas (donde el origen está en el centro de una serie de esferas), o las coordenadas cilíndricas.

En geografía, las coordenadas se eligen como un sistema de coordenadas aproximadamente esférico: latitud, longitud y altura por encima de un nivel general conocido (como por ejemplo, el del océano).

En astronomía, las coordenadas celestes son un par ordenado de cantidades angulares (por ejemplo, ascensión recta y declinación), con las que se determina la posición de distintos puntos luminosos y de puntos auxiliares en la esfera celeste. En la práctica, se utilizan varios sistemas de coordenadas celestes. Cada uno de ellos es esencialmente un sistema de coordenadas esféricas (sin coordenadas radiales) con un plano fundamental y un origen elegidos apropiadamente. Dependiendo de la elección del plano fundamental, el sistema de coordenadas celestes se llama horizontal (plano del horizonte), ecuatorial (plano ecuatorial), eclíptico (plano de la eclíptica) o galáctico (plano galáctico).

El sistema de coordenadas más utilizado es el sistema de coordenadas rectangulares, también conocido como sistema de coordenadas cartesianas.

Las coordenadas en el plano y en el espacio se pueden definir de un número ilimitado de formas diferentes. La resolución de numerosos problemas matemáticos o físicos implica elegir aquel sistema de coordenadas específico en el que el problema se resuelva más fácil o más conveniente en cada caso particular. Una generalización conocida del sistema de coordenadas son los sistemas de referencia.

Es el conjunto de los números reales representado gráficamente por una recta en la que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.^[3]​

Cada punto de la recta representa un número real, ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, como por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada como la entera^[3]​ de puntos ordenados y separados entre sí a la misma distancia. El punto que representa el cero (${displaystyle 0}$) es el punto de referencia principal del sistema de coordenadas, llamado punto de origen.

Tomando en cuenta que cada uno de los puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto origen ${displaystyle O}$ se hallan todos los números reales positivos y a la izquierda todos los números reales negativos.^[4]​

Para representar un número de la recta real se emplean las letras mayúsculas y sus coordenadas correspondientes, por ejemplo, los puntos A(5), B(3), C(-3), D(-5),etc.

En un espacio euclídeo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto (${displaystyle mathbf {r} _{ ext{A}}={ ext{OA}},}$) sobre un eje determinado:

${displaystyle mathbf {r} _{ ext{A}}={ ext{OA}}=(x_{ ext{A}},y_{ ext{A}},z_{ ext{A}})}$

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector (${displaystyle mathbf {i} ,}$) tal que:

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x:

${displaystyle x_{ ext{A}}={{ ext{OA}}cdot mathbf {i} over |{ ext{OA}}|cdot |mathbf {i} |}={{ ext{OA}} over |{ ext{OA}}|}cdot mathbf {i} }$

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto o posición del plano se determina mediante un ángulo y una distancia.^[5]​

Se elige un punto como polo y se toma una semirrecta desde este punto como eje polar. Para un ángulo dado ${displaystyle heta }$, hay una única línea recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es ${displaystyle heta }$ (medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo al origen es r para un número dado r. Para un par de coordenadas dado ${displaystyle (r, heta )}$ hay un único punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, ${displaystyle (r, heta )}$, ${displaystyle (r, heta +2pi )}$ y ${displaystyle (-r, heta +pi )}$ son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por ${displaystyle (0, heta )}$ para cualquier valor de ${displaystyle heta }$.

Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.

El sistema de coordenadas cilíndricas ${ extstyle {mathcal {C}}={( ho ,varphi ,z)| ho >0, 0leq varphi <2pi , zin mathbb {R} }}$ se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje ${displaystyle Oz}$ y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje ${displaystyle Ox}$ y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada ${displaystyle z}$ que determina la altura del cilindro.

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

También se pueden definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o de una variedad diferenciable (globalmente, el espacio puede ser euclídeo, pero no necesariamente). Si se trata de un espacio localmente euclídeo ${displaystyle M}$ de dimensión ${displaystyle m}$, se puede construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto ${displaystyle p}$ siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas como:

Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas como sistemas de coordenadas ortogonales o incluso como sistemas de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$.

Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.

Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales.

En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.

En coordenadas homogéneas, todo punto bidimensional está definido por tres coordenadas, de tal modo que un punto de dimensiones ${displaystyle (x,y)}$, se representa por la terna

${displaystyle left(lambda x,lambda y,lambda ight),quad lambda eq 0}$

Las coordenadas en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si ${displaystyle lambda =1}$, por simplificación. En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo.^[6]​^[7]​

Una consecuencia de esta escritura es que un punto propio tiene infinitas formas de escribirse, pues está determinado por una relación de equivalencia entre el punto en cuestión y aquellos otros contenidos en la recta que genera.

La idea básica se trata de ampliar el plano euclídeo (en el caso bidimensional) al plano proyectivo. Esto implica la consideración de los puntos impropios, o del infinito. Un punto impropio es aquel donde λ = 0, y está determinado por la dirección de una recta, contenida en el plano proyectivo.^[8]​

Algunos otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:

Hay formas de describir curvas sin coordenadas, utilizando ecuaciones intrínsecas que usan cantidades invariantes como la curvatura y la longitud de arco. Estas incluyen:

Los sistemas de coordenadas suelen utilizarse para especificar la posición de un punto, pero también pueden utilizarse para especificar la posición de figuras más complejas como rectas, planos, círculos o esferas. Por ejemplo, las coordenadas plückerianas permiten determinar la posición de una línea recta en el espacio.^[18]​ Cuando es necesario, el tipo de figura que se describe se utiliza para distinguir el tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo el término coordenadas de la recta se utiliza para cualquier sistema de coordenadas que especifica la posición de una línea recta.

Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas para dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en términos de su análisis. Un ejemplo de ello son los sistemas de coordenadas homogéneos para puntos y rectas en el plano proyectivo. Los dos sistemas en un caso como este se dice que son duales. Los sistemas duales tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden trasladarse al otro, ya que estos resultados son solo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; esto se conoce como el principio de dualidad.^[19]​

En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que a depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad.

Dado que a menudo existen muchos sistemas de coordenadas posibles para describir figuras geométricas, es importante entender cómo se relacionan. Estas relaciones se describen mediante transformaciones de coordenadas que dan fórmulas para las coordenadas de un sistema en términos de las coordenadas de otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas ${displaystyle (x,y)}$ y las coordenadas polares ${displaystyle (r, heta )}$ tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje positivo de ${displaystyle x}$, entonces la transformación de coordenadas de las coordenadas polares a las cartesianas viene dada por ${displaystyle x=rcdot cos( heta )land y=rcdot sin( heta )}$.

Más formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también diferenciable) entre dos conjuntos de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, aquí llamados ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$:

${displaystyle {egin{matrix}phi :&Asubset mathbb {R} ^{n}&longrightarrow &Bsubset mathbb {R} ^{n}\&mathbf {x} &longmapsto &mathbf {y} =phi (mathbf {x} )end{matrix}}qquad land qquad det Dphi ={frac {partial (y^{1},dots ,y^{n})}{partial (x^{1},dots ,x^{n})}} eq 0}$

Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:

${displaystyle int _{Dsubset B}f(mathbf {y} ) d^{n}mathbf {y} =int _{phi ^{-1}(D)}(fcirc phi )(mathbf {x} ) |det Dphi (mathbf {x} )| d^{n}mathbf {x} =int _{ ilde {D}}{ ilde {f}}(mathbf {x} ) Jd^{n}mathbf {x} }$

Donde:

Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de transformación tensorial:

${displaystyle {frac {partial f(mathbf {y} )}{partial y^{i}}}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial x^{k}}{partial y^{i}}}{frac {partial f(phi (mathbf {x} ))}{partial x^{k}}}}$

En dos dimensiones, si una de las coordenadas en un sistema de coordenadas de un punto se mantiene constante y la otra coordenada se deja variar, entonces la curva resultante se llama curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas las curvas de coordenadas son, de hecho, líneas rectas, por lo que son denominadas rectas coordenadas. En concreto, son las líneas paralelas a uno de los ejes de coordenadas. Para otros sistemas de coordenadas las curvas de coordenadas pueden ser curvas generales. Por ejemplo, las curvas de coordenadas en coordenadas polares obtenidas manteniendo r constante son los círculos con centro en el origen. Un sistema de coordenadas para el que algunas curvas de coordenadas no son líneas rectas se denomina sistema de coordenadas curvilíneas.^[20]​ Este procedimiento no siempre tiene sentido, por ejemplo no existen curvas de coordenadas en los sistemas de coordenadas homogéneos.

En el espacio tridimensional, si se mantiene constante una coordenada y se permite que las otras dos varíen, la superficie resultante se llama superficie de coordenadas. Por ejemplo, las superficies de coordenadas que se obtienen manteniendo constante ρ en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas se puede hablar de planos de coordenadas.

Del mismo modo, las hipersuperficies de coordenadas son los espacios ${displaystyle (n-1)}$ dimensionales que resultan de fijar una sola coordenada de un sistema de ${displaystyle n}$ coordenadas.^[21]​

El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo —por ejemplo, el ${displaystyle (0,0)}$ en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ o ${displaystyle (0,0,0)}$ en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$—. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo ${displaystyle ( ho =0)}$, siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.

En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema se separan.

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