Biálgebra

En matemáticas, una biálgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial sobre K que es un álgebra asociativa unitaria y una coálgebra. Las estructuras algebraica y coalgebraica deberán cumplir varios axiomas para decirse compatibles. En particular, la comultiplicación y la counidad deben ser ambos homomorfismos de álgebras o, equivalentemente, la multiplicación y la unidad del álgebra deben ser morfismos de la coálgebra (ambas condiciones son equivalentes ya que están expresadas por el mismo diagrama conmutativo).

Las biálgebras similares están relacionadas por homomorfismos de biálgebras. Un homomorfismo de biálgebras es una aplicación lineal que es al mismo tiempo homomorfismo de álgebras y homomorfismo de coálgebras.

Como se refleja en la simetría de los diagramas conmutativos, la definición de biálgebras es autodual, de forma que si se define un dual de B (lo cual es siempre posible si B es de dimensión finita), entonces es automáticamente una biálgebra

(B, ∇, η, Δ, ε)  es una biálgebra sobre K si tiene las siguientes propiedades:

The aplicación K-lineal Δ: B → B ⊗ B es coasociativa si ${displaystyle (mathrm {id} _{B}otimes Delta )circ Delta =(Delta otimes mathrm {id} _{B})circ Delta }$.

La aplicación K-lineal ε: B → K es una counidad si ${displaystyle (mathrm {id} _{B}otimes epsilon )circ Delta =mathrm {id} _{B}=(epsilon otimes mathrm {id} _{B})circ Delta }$.

La coasociatividad y la counidad están expresadas por la conmutatividad de los siguientes dos diagramas (que son los duales de los diagramas que expresan asociatividad y unidad en un álgebra).

Los cuatro diagramas conmutativos se pueden leer también como «la comultiplicación y la counidad son homomorfismos de álgebras» o, equivalentemente, «la multiplicación y la unidad son homomorfismos de coálgebras».

Estas afirmaciones toman significado dadas las estructuras naturales de álgebra y coálgebra en todos los espacios vectoriales involucrados ya que B: (K, ∇₀, η₀) es un álgebra asociativa unitaria de forma trivial y (B ⊗ B, ∇₂, η₂) es un álgebra asociativa unitaria con unidad y multiplicación

de forma que ${displaystyle abla _{2}((x_{1}otimes x_{2})otimes (y_{1}otimes y_{2}))= abla (x_{1}otimes y_{1})otimes abla (x_{2}otimes y_{2})}$u omitiendo ∇ y escribiendo la multiplicación como yuxtaposición, ${displaystyle (x_{1}otimes x_{2})(y_{1}otimes y_{2})=x_{1}y_{1}otimes x_{2}y_{2}}$;

análogamente, (K, Δ₀, ε₀) es una coálgebra de forma trivial y B ⊗ B es una coálgebra con counidad y comultiplicación

Así, los diagramas 1 y 3 afirman que Δ: B → B ⊗ B es un homomorfismos entre las álgebras asociativas unitarias (B, ∇, η) y (B ⊗ B, ∇₂, η₂)

los diagramas 2 y 4 afirman que ε: B → K es un homomorfismo entre las álgebras asociativas unitarias (B, ∇, η) y (K, ∇₀, η₀):

Equivalentemente, los diagramas 1 y 2 afirman que ∇: B ⊗ B → B es un homomorfismo entre las coálgebras coasiciativas counitarias (B ⊗ B, Δ₂, ε₂) y (B, Δ, ε):

y los diagramas 3 y 4 afirman que η: K → B es un homomorfismo entre las coálgebras coasociativas counitarias (K, Δ₀, ε₀) y (B, Δ, ε):

Un ejemplo de biálgebra es el conjunto de funciones de un grupo G (o, de forma más general, de cualquier monoide) en ${displaystyle mathbb {R} }$, que podemos representar como un espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} ^{G}}$consistente en las combinaciones lineales finitas de vectores base e_g para cada g ∈ G, lo que representaría una distribución de probabilidad sobre G en el caso de vectores cuyos coeficientes son todos no negativos y suman 1. Un ejemplo de operadores de comultiplicación y counidades que llevan a una coálgebra counital son

lo que representa una copia de una variable aleatoria (que se puede extender a ${displaystyle mathbb {R} ^{G}}$por linealidad), y

(de nuevo extendido linealmente a todo ${displaystyle mathbb {R} ^{G}}$) lo que representa la traza de una variable aleatoria (esto es, olvidar el valor de una variable aleatoria, representada por un único factor tensorial, para obtener una distribución marginal sobre las variables restantes, los factores tensoriales restantes). Dada la interpretación de (Δ,ε) en términos de distribuciones de probabilidad anterior, las condiciones de consistencia de biálgebra, dadas como condiciones sobre (∇,η), son las siguientes:

Un par (∇,η) que satisface estas condiciones es el operador de convolución

de nuevo extendido a todo ${displaystyle mathbb {R} ^{G}otimes mathbb {R} ^{G}}$por linealidad; esto produce una distribución de probabilidad normalizada de una distribución sobre dos variables aleatorias, y tiene como unidad la distribución delta ${displaystyle eta =mathbf {e} _{i};,}$donde i ∈ G denota el elemento identidad del grupo G.

Otro ejemplo de biálgebra es el álgebra tensorial, que puede convertirse en biálgebra añadiendo una comultiplicación y una counidad adecuadas.

En ocasiones se puede extender las biálgebras en álgebras de Hopf, si se puede encontrar una antípoda apropiada. Así, todas las álgebras de Hopf son ejemplos de biálgebras.^[3]​ Estructuras similares con diferentes condiciones de compatibilidad sobre la multiplicación y la comultiplicación, o diferentes tipos de estas, incluyen las biálgebras de Lie y las álgebras de Frobenius.

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