Funciones trigonométricas

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: ${displaystyle alpha }$, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

${displaystyle operatorname {sen} alpha ={frac {color {ForestGreen}{ extrm {opuesto}}}{color {Red}{ extrm {hipotenusa}}}}={frac {a}{h}}}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo ${displaystyle alpha }$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

${displaystyle cos alpha ={frac {color {Blue}{ extrm {adyacente}}}{color {Red}{ extrm {hipotenusa}}}}={frac {b}{h}}}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

${displaystyle an alpha ={frac {color {ForestGreen}{ extrm {opuesto}}}{color {Blue}{ extrm {adyacente}}}}={frac {a}{b}}}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

${displaystyle cot alpha ={frac {color {Blue}{ extrm {adyacente}}}{color {ForestGreen}{ extrm {opuesto}}}}={frac {b}{a}}}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

${displaystyle sec alpha ={frac {color {Red}{ extrm {hipotenusa}}}{color {Blue}{ extrm {adyacente}}}}={frac {h}{b}}}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

${displaystyle csc alpha ={frac {color {Red}{ extrm {hipotenusa}}}{color {ForestGreen}{ extrm {opuesto}}}}={frac {h}{a}}}$

La siguiente tabla muestra los valores de las seis razones trigonométricas para algunos ángulos notables.

No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de ${displaystyle alpha }$ para valores de ${displaystyle alpha }$ menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida ${displaystyle alpha }$ radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo ${displaystyle alpha }$ el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que ${displaystyle alpha =eta }$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo ${displaystyle cos alpha }$ a términos de ${displaystyle operatorname {sen} alpha }$, o convirtiendo ${displaystyle operatorname {sen} alpha }$ a términos de ${displaystyle cos alpha }$:

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

Y para el caso alternativo:

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).

${displaystyle {egin{cases}S'(x)=C(x)&S(0)=0\C'(x)=-S(x)&C(0)=1end{cases}}}$

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

${displaystyle cos x=C(x),qquad operatorname {sen} x=S(x)}$

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:

${displaystyle e^{ix}=cos x+ioperatorname {sen} x,}$

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

${displaystyle cos x={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}qquad operatorname {sen} x={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

${displaystyle y''=-y.,}$

Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, las variables dependientes, juntas, pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.

Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones propias del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

${displaystyle y'=1+y^{2},}$

satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

La función arcoseno real es una función ${displaystyle left[-1,1 ight] o left[-{cfrac {pi }{2}},{cfrac {pi }{2}} ight],}$, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

${displaystyle operatorname {arcsen} (x)={egin{cases}-{cfrac {pi }{2}}&x=-1\x+{cfrac {1}{2}}{cfrac {x^{3}}{3}}+{cfrac {1cdot 3}{2cdot 4}}{cfrac {x^{5}}{5}}+{cfrac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}{cfrac {x^{7}}{7}}+dots &-1<x<1\+{cfrac {pi }{2}}&x=1end{cases}}}$

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

${displaystyle arccos(x)={frac {pi }{2}}-operatorname {arcsen} (x)}$

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

${displaystyle arctan(x)={egin{cases}x-{cfrac {x^{3}}{3}}+{cfrac {x^{5}}{5}}-{cfrac {x^{7}}{7}}+dots &|x|<1\pm {cfrac {pi }{2}}-{cfrac {1}{x}}+{cfrac {1}{3x^{3}}}-{cfrac {1}{5x^{5}}}+dots &+{ ext{ con }}xgeq 1,-{ ext{ con }}xleq -1end{cases}}}$

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la función seno (sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

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